Базис на площині і в просторі визначення

Визначення. Базисом на площині (в просторі) називається впорядкована пара (трійка) неколінеарних (некомпланарних) векторів. Будь-вектор однозначним чином розкладається по базису. Коефіцієнти розкладання називаються координатами цього вектора щодо даного базису. Вектори утворюють базис в декартовом координатном просторі Oxyz.

Дано вектори. Показати, що вектори і утворюють базис на площині і знайти координати вектора в цьому базисі.

Рішення. Якщо два вектори неколінеарна (), то вони утворюють базис на площині. Так як, то вектори і неколінеарна і, отже, утворюють базис. Нехай в цьому базисі вектор має координати, тоді розкладання вектора по векторах і має вигляд, або в координатної формі

Вирішивши отриману систему рівнянь будь-яким чином, отримаємо, що.

Значить. Таким чином, в базисі вектор має координати.

Скалярний, векторний, мішаний добуток векторів.

Визначення. Скалярним добутком двох векторів і називається число, яке визначається рівністю:

де - кут між векторами і. Якщо то .

Знаючи скалярний твір, можна визначити кут між двома векторами за формулою:.

Умова перпендикулярності ненульових векторів (кут між ними дорівнює 90 °) має вигляд:, або, а умова їх коллинеарности:, або.

Властивості скалярного твори:

1); 2); 3); 4), причому.

Приклад 2. Знайти кут між векторами і, якщо,,,.

Рішення. Використовуємо формулу. Визначимо координати векторів і, з огляду на, що при додаванні векторів ми складаємо однойменні координати, а при множенні вектора на число - множимо на це число кожну координату цього вектора, а:,.

Знайдемо скалярний добуток векторів і і їх довжини. ,,. Підставивши в формулу, отримаємо. Звідси.

Визначення. Векторним твором вектора на вектор називається вектор (інше позначення), який:

а) має довжину, де - кут між векторами і;

б) перпендикулярний векторах і () (тобто, перпендикулярний площині, в якій лежать вектори і);

в) спрямований так, що вектори,, утворюють праву трійку векторів, тобто з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого до другого видно проти годинникової стрілки (рис.2).

Координати векторного добутку вектора на вектор визначаються за формулою:

Геометричний сенс змішаного твори: обсяг паралелепіпеда, побудованого на векторах,, (рис.4), а обсяг утвореної ними трикутної піраміди знаходяться за формулами.

Приклад 4. компланарності вектори,,?

Рішення. Якщо вектори компланарні, то за властивістю 4) їх змішане твір дорівнює нулю. Перевіримо це. Знайдемо мішаний добуток даних векторів, обчисливши визначник:

Розподіл відрізка в даному відношенні.

Нехай відрізок в просторі Oxyz задано точками і. Якщо він розділений точкою в відношенні, то координати точки наступні:

Приклад 5. Знайти точку, що ділить відрізок щодо, якщо.

Рішення. Визначимо координати точки:

Рівняння площини. Загальне рівняння площини має вигляд:,, де - нормальний вектор площини (тобто перпендикулярний площині), а коефіцієнт пропорційний відстані від початку координат до площини.

Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору, має вигляд

Рівняння площини, що проходить через три задані точки, і має вигляд:

Кут між двома площинами, що мають нормальні вектори і, визначається як кут між векторами і за формулою:

Відстань від точки до площини обчислюється за формулою.

Приклад 6. Написати рівняння площини, що проходить через точки,,.

Рішення. Скористаємося рівнянням площини, що проходить через три задані точки. обчислимо визначник

, або - шукане рівняння площині.

Рівняння прямої на площині. Загальне рівняння прямої на площині має вигляд:, де - нормальний вектор прямої (перпендикулярний прямій), а коефіцієнт пропорційний відстані від початку координат до прямої.

Рівняння прямої, що проходить через дану точку, має вигляд

В іншому вигляді, де - тангенс кута, утвореного прямий і позитивним напрямом осі Ox, званий кутовим коефіцієнтом, b - ордината точки перетину прямої з віссю Oy.

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки і, має вигляд

Кут між двома прямими і визначається формулою

Відстань від точки до прямої знаходиться за формулою

Приклад 7. Дано рівняння двох сторін прямокутника, і рівняння його діагоналі. скласти рівняння

інших сторін і другий діагоналі цього прямокутника.

Рішення. Зробимо схематичний креслення (Рис.6). Перепишемо дані рівняння у вигляді:,,. Так як кутові коефіцієнти прямих, які задають сторони прямокутника, однакові, то ці рівняння задають паралельні прямі, тобто сторони, на них лежать, протилежні. Знайдемо точки перетину даної діагоналі з цими сторонами. Нехай це будуть точки і. Для цього прирівняємо спочатку 1 і 3, а потім 2 і 3 рівняння:

Невідомі сторони паралельні між собою і перпендикулярні даними (так як це прямокутник).

Зауваження. Кутові коефіцієнти перпендикулярних прямих і пов'язані співвідношенням.

Таким чином, рівняння невідомих сторін прямокутника такі:

. Підставивши в перше рівняння координати точки, в другу - точки, отримаємо, що і, отже,,.

Знайдемо координати точок і, прирівнявши рівняння відповідних сторін:

Рівняння діагоналі отримаємо як рівняння прямої, що проходить через дві задані точки і:

Рівняння прямої в просторі. Пряма в просторі Oxyz визначається як лінія перетину двох площин (загальні рівняння прямої в просторі).

Канонічні рівняння прямої в просторі мають вигляд

де - точка, через яку проходить пряма, а вектор, паралельний цій прямій, називається напрямних вектором прямої.

Рівняння прямої в просторі, що проходить через дві задані точки і мають вигляд

Кут між двома прямими з направляючими векторами і визначається за формулою

Приклад 8. Піраміда задана координатами своїх вершин,,. Потрібно знайти:

1) довжини ребер і; 2) кут між ребрами і; 3) площа грані, що містить вершини; 4) обсяг піраміди; 5) рівняння прямих і;

6) рівняння висоти, опущеної з вершини на площину;

7) відстань від вершини до площини; 8) кут між ребром і гранню, що містить вершини.

Решеніе.1) Довжини ребер і визначимо як модуль векторів і за формулами;

2) Знайдемо координати векторів і:

Довжини цих векторів, тобто довжини ребер і, такі:,

. Косинус кута між ребрами і обчислимо за формулою;

3) Площа грані (трикутника) дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах і, тобто половина модуля векторного добутку цих векторів, що дорівнює

4) Обсяг піраміди дорівнює.

5) Рівняння прямих і знайдемо як рівняння прямих, що проходять через дві дані точки:

(): (Абсциси точок і однакові);

6) спрямовує вектор висоти є нормальний вектор площини. Отримаємо рівняння площині:

- рівняння площини. Тоді нормальний вектор площини має координати. Канонічні рівняння прямої, що проходить через точку паралельно вектору має вигляд:;

7) Для обчислення відстані від вершини до площини скористаємося формулою. У нашому випадку - рівняння площини і. Отже,;

8) Кут між прямою і площиною знаходять за формулою:

, де - нормальний вектор площини. і (див. п.7). Таким чином, ,