асимптоти кривої
Література: [3], гл. V, § 10
Пряма називається асимптотой кривої y = f (x), якщо відстань від точки М кривої до цієї прямої прямує до нуля при видаленні точки М уздовж кривої в нескінченність від початку координат (рис. 1.7).
Розрізняють вертикальні і похилі асимптоти. Вертикальна асимптота має рівняння виду x = x0 і є прямою, паралельною осі Оy. Похила асимптота має рівняння виду y = kx + b. В окремому випадку при k = 0 асимптота називається горизонтальною, так як її рівняння y = b є пряма, паралельна осі Ох.
Нехай дана крива y = f (x). Для знаходження вертикальної асимптоти цієї кривої знаходять точки її нескінченного розриву (точки розриву другого роду).
то пряма x = x0 ─ вертикальна асимптота кривої y = f (x) (рис. 1.8).
Похилі і горизонтальні асимптоти.
Нехай задана крива y = f (x). Для знаходження похилій асимптоти, рівняння якої y = kx + b, знаходять коефіцієнти k і b. обчислюючи межі:
В окремому випадку, коли k = 0, а b ─ кінцеве число, крива має горизонтальну асимптоти, рівняння якої y = b.
Приклад. Знайти асимптоти кривої
Рішення. функція
,
Так як один з меж нескінченний, то x = 1 є точкою розриву другого роду, і, отже, крива має вертикальну асимптоту x = 1.
Визначимо, чи має крива похилу або горизонтальну асимптоти. Для цього обчислюємо відповідні межі:
, Рівняння асімптотиy = kx + b набирає вигляду y = 1 (горизонтальна асимптота).
хематіческій графік функції представлений на рис. 1.9.
1.14. Схема повного дослідження функції та побудова її графіка
Література: [3], гл. V, § 11
1. Знаходимо область визначення функції.
2. Встановлюємо парність, непарність функції, періодичність. Знаходимо характерні точки, наприклад, точки перетину з осями координат.
3. Знаходимо точки розриву функції, визначаємо їх характер. При наявності точок розриву другого роду (точок нескінченного розриву) встановлюємо наявність вертикальних асимптот графіка функції.
4. Знаходимо похідну функції, критичні точки, проміжки монотонності, точки екстремуму і значення функції в цих точках.
5. Знаходимо другу похідну функції, інтервали опуклості і угнутості кривої і точки перегину графіка функції.
6. Встановлюємо наявність у досліджуваній кривої похилих і горизонтальних асимптот.
7. За отриманими даними будуємо графік функції.
Зауваження. Якщо функція є парною або непарною, то дослідження проводять не на всій числовій осі, а на проміжку [0, + ∞). Потім графік продовжують симетрично щодо осі ординат на проміжок (-∞, 0), якщо функція парна, і щодо центру системи координат, якщо функція непарна.
Якщо функція періодична, то її графік будують для одного періоду, а потім періодично продовжують на всю числову вісь.
Приклад. Провести повне дослідження функції
1. Функція визначена і неперервна на всій числовій осі, крім точок x = ± 2.
2. Функція непарна, так як для неї виконується умова. Тому досить провести дослідження на проміжку [0, + ∞).
3. У проміжку [0, + ∞) є одна точка розриву x = 2. Досліджуємо характер точки розриву, для чого обчислимо такі межі:
,
Так як односторонні межі нескінченні, то пряма x = 2 є вертикальною асимптотой.
4. Знаходимо першу похідну:
.
Знаходимо критичні точки на проміжку [0, + ∞):
5. Знаходимо другу похідну:
.
Друга похідна на проміжку [0, + ∞) звертається в нуль в точці x1 = 0 і не існує в точці x3 = 2, яка не входить в область визначення функції.
За отриманими даними будуємо таблицю:
У першому рядку таблиці вказані інтервали, на які критичні точки і точки, де друга похідна дорівнює нулю або не існує, розбивають проміжок [0, + ∞). У другому рядку вказано знак першої похідної в цих інтервалах, в третій - знак другої похідної. У четвертому рядку умовно зображено зростання або спадання функції на проміжку (по знаку першої похідної), і опуклість або увігнутість кривої (за знаком другої похідної).
6. Шукаємо похилу асимптоту:
,
.
Крива на проміжку [0, + ∞) має похилу асимптоту
Будуємо вертикальну x = 2 і похилу y = 2x асимптоти, а потім за даними таблиці будуємо графік досліджуваної функції на проміжку [0, + ∞), який потім продовжуємо на проміжок (-∞, 0) симетрично щодо центру системи координат.
