Ахілл і черепаха, математика, рішення онлайн!

Найзнаменитіший парадокс Зенона називається «Ахілл і черепаха». Давньогрецький герой Ахілл славився як чудовий бігун, а черепаха відома тим, що пересувається надзвичайно повільно. Проте Зенон продемонстрував, що Ахілл ніколи не зможе наздогнати черепаху в змаганні з бігу. якщо спочатку у черепахи буде перевага.

Припустимо, що Ахілл бігає в десять разів швидше черепахи. але до початку змагань у черепахи буде перевага в 100 ярдів. У кілька стрибків Ахілл подолає відстань у 100 ярдів, але за цей час черепаха, яка рухається в десять разів повільніше Ахілла (що дуже непогано для черепахи), пройде 10 ярдів. Ахілл пробігає і ці 10 ярдів, але черепаха віддаляється від нього на 1 ярд. Тоді Ахілл пробігає один ярд, але черепаха віддаляється від нього на ярда, і так далі до нескінченності.

Ось бачите, що відбувається. Ахілл продовжує рух. але і черепаха рухається, і Ахілл не може її наздогнати. І більш того, повторюючи це міркування для іншого початкового розриву між черепахою і Ахіллом, ми можемо сказати, що, яким би малим не було початкове перевага черепахи, будь це один фут або один дюйм, нічого не зміниться. Ахілл ніколи не зможе добитися ніякої переваги, а це, в свою чергу, означає неможливість руху взагалі.

Звичайно, ви прекрасно знаєте, що Ахілл може наздогнати черепаху і рух можливий, отже, доказ Зенона несе в собі протиріччя, тобто є парадоксом.

А тепер розглянемо докладно завдання Зенона. Де помилка в його міркуваннях? Припустимо, Ахілл біжить зі швидкістю 10 ярдів в секунду, а черепаха рухається зі швидкістю 1 ярд в секунду. Ахілл пробігає перші 100 ярдів за 10 секунд. За цей час черепаха проходить 10 ярдів. Ахілл долає 10 ярдів за одну секунду, а черепаха за цей час проходить 1 ярд. Ахілл подолає цей ярд за 0,1 секунди, а черепаха віддалиться від нього на 0,1 ярда.

Іншими словами, час, який потрібно Ахілла для того, щоб наздогнати черепаху, являє собою спадну послідовність 100, 10, 1, 0,1, 0,01, 0,001, 0,0001, 0,00001.

Скільки часу знадобиться Ахілла для того, щоб подолати нескінченну послідовність зменшуються відстаней? Зенон вважав, що раз число членів в послідовності нескінченно, то і сума повинна бути нескінченною. Він не міг собі уявити, що послідовність нескінченної кількості чисел може бути сходящейся і мати кінцеву суму.

Наприклад, якщо ми складемо перші два члена послідовності Зенона, ми отримаємо 11, сума перших трьох членів дорівнює 11,1, перших чотирьох - 11,11, перших п'яти 11,111, перших шести 11,1111. А якщо уявити собі суму всього нескінченного ряду, то ми отримаємо +11,11111111111111111. І так до нескінченності.

А що таке +11,111111111. Це десятковий еквівалент числа. Якщо перевести в десяткову дріб, ми отримаємо саме +11,11111111111111111.

Таким чином, сума послідовності в завданні Зенона становить 11 секунди. Це той самий час, який знадобиться Ахілла, щоб подолати всі послідовно убутні відстані, на які віддаляється від нього черепаха. А це означає, по-перше, що Ахілл в кінці кінців наздожене черепаху, по-друге, що рух можливий, ну а по-третє, що і ми можемо нарешті розслабитися.

Послідовності можуть прагнути до межі, який є нескінченною десятковим дробом. причому не повторюється. Такі послідовності можна складати для відображення ірраціональних чисел. Додаючи все нові і нові члени до такої послідовності, ми все ближче підходимо до величини ірраціонального числа, хоча ніколи не зможемо її досягти. Такі ж сходяться послідовності використовують для визначення ірраціональних чисел, наприклад таких, як логарифми.

Поділитися з друзями: