4 Речі рішення рівнянь
Рішення кубічних рівнянь за формулою Кардано.
У загальному випадку, коріння кубічного рівняння знаходяться за формулою Кардано.
Для кубічного рівняння знаходяться значення. Далі знаходимо і.
Підставляємо отримані p і q в формулу Кардано:
Значення кубічних коренів слід брати такими, щоб їх твір дорівнювало. У підсумку, знаходимо коріння вихідного рівняння за формулою.
Вирішимо за формулою Кардано попередній приклад.
Знайти корені кубічного рівняння.
Підставляємо в формулу Кардано:
Розіб'ємо ці значення по парам, які в творі дають.
Перша пара значень: і.
Друга пара значень: і.
Третя пара значень: і.
Повертаємося до формули Кардано:
.
До вирішення кубічних рівнянь зводиться рішення рівнянь четвертого ступеня за методом Феррарі.
Рішення двучленного кубічного рівняння виду формула.
Рішення двучленного кубічного рівняння.
Двучленное кубічне рівняння має вигляд.
Це рівняння приводиться до вигляду діленням на коефіцієнт А, відмінний від нуля. Далі застосовується формула скороченого множення сума кубів:
З першої дужки знаходимо, а квадратний тричлен має лише комплексні корені.
Знайти дійсні корені кубічного рівняння.
Застосовуємо формулу скороченого множення різниця кубів:
З першої дужки знаходимо, квадратний тричлен у другій скобці не має дійсних коренів, так як його дискримінант від'ємний.
.
Ще Одне кубічне рівняння
Ще Одне кубічне рівняння має вигляд, де А і В - коефіцієнти.
Очевидно, що х = -1 є коренем такого рівняння, а коріння отриманого квадратного тричлена легко знаходяться через дискримінант.
Вирішити кубічне рівняння.
Це рівняння ще одне. Проведемо угруповання:
Очевидно, x = -1 є коренем рівняння.
Знаходимо корені квадратного тричлена:
.
Рішення кубічних рівнянь з раціональними коренями.
Почнемо з найпростішого випадку, коли х = 0 є коренем кубічного рівняння.
У цьому випадку вільний член D дорівнює нулю, тобто рівняння має вигляд.
Якщо винести х за дужки, то в дужках залишиться квадратний тричлен, коріння якого легко знайти або через дискримінант, або по теоремі Вієта.
Знайти дійсні корені рівняння.
x = 0 є коренем рівняння. Знайдемо коріння квадратного тричлена.
Так як його дискримінант менше нуля, то дійсних коренів тричлен не має.
Якщо коефіцієнти кубічного рівняння є цілими числами, то рівняння може мати раціональні коріння.
При, домножимо обидві частини рівняння на і проведемо заміну переменнихy = Ax:
Прийшли до наведеного кубічного рівняння. Воно може мати цілі коріння, які є дільниками вільного члена. Так що виписуємо всі подільники та починаємо їх підставляти в отримане рівняння до отримання тотожної рівності. Той дільник, при якому тотожність отримано, є коренем рівняння. Отже, коренем вихідного рівняння є.
Далі ділимо многочлен на і знаходимо корені отриманого квадратного тричлена.
Знайти корені кубічного рівняння.
Перетворимо рівняння до наведеного: домножимо на обидві частини і проведемо заміну змінної y = 2x.
Вільний член дорівнює 36. Запишемо всі його подільники:.
Підставляємо їх по черзі в рівність до отримання тотожності:
Таким чином, y = -1 є коренем. Йому відповідає.
Розділимо на, використовуючи схему Горнера:
Залишилося знайти коріння квадратного тричлена.
Очевидно, що, тобто, його кратним коренем є х = 3.
.
За таким алгоритмом можна вирішувати зворотні рівняння. Так як -1 є коренем всякого поворотного кубічного рівняння, то можна розділити ліву частину вихідного рівняння на х + 1 і знайти коріння отриманого квадратного тричлена.
У разі, коли кубічне рівняння не має раціональних коренів, застосовуються інші способи вирішення, наприклад, специфічні способи розкладання мночлена на множники.