14Теорія про зміну кількості руху і моменту
В якості системи, про яку йде мова в теоремі, може виступати будь-яка механічна система, що складається з будь-яких тел.
Кількістю руху (імпульсом) механічної системи називають величину, що дорівнює сумі кількостей руху (імпульсів) всіх тіл, що входять в систему. Імпульс зовнішніх сил, що діють на тіла системи, - це сума імпульсів всіх зовнішніх сил, що діють на тіла системи.
Теорема про зміну кількості руху системи стверджує
Зміна кількості руху системи за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу зовнішніх сил, що діють на систему, за той же проміжок часу.
Закон збереження кількості руху системи
Якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, то кількість руху (імпульс) системи є величина постійна.
Ввівши в розгляд зміна імпульсу зовнішніх сил, отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в диференціальної формі:
Таким чином, кожне з останніх отриманих рівнянь дозволяє стверджувати: зміна кількості руху системи відбувається тільки в результаті дії зовнішніх сил, а внутрішні сили ніякого впливу на цю величину надати не можуть.
Проинтегрировав обидві частини отриманого рівності по довільно взятому проміжку часу між деякими і, отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в інтегральної формі:
де и- значення кількості руху системи в моменти временіісоответственно, а- імпульс зовнішніх сил за проміжок часу. У відповідності зі сказаним раніше і введеними позначеннями виконується
Закон збереження імпульсу (Закон збереження кількості руху) стверджує, що векторна суммаімпульсоввсех тел системи є величина постійна, якщо векторна сума зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю.
(Момент кількості руху м 2 · кг · с -1)
Теорема про зміну моменту кількості руху щодо центру
похідна по часу від моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки відносно будь-якого нерухомого центру дорівнює моменту діючої на точку сили щодо того ж центру.
Теорема про зміну моменту кількості руху щодо осі
похідна по часу від моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки відносно будь-якої нерухомої осі дорівнює моменту діючої на цю точку сили відносно тієї ж осі.
Розглянемо матеріальну точку M массойm. рухому під дією сілиF (рисунок 3.1). Запишемо і побудуємо вектор моменту кількості руху (кінетичного моменту) M0 матеріальної точки відносно центраO:
Диференціюючи вираз моменту кількості руху (кінетичного моменту k0) за часом:
Рівняння (3.4) виражає теорему про зміну моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки відносно центру: похідна за часом від моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки відносно будь-якого нерухомого центру дорівнює моменту діючої на точку сили щодо того ж центру.
Проектуючи рівність (3.4) на осі декартових координат, отримуємо
Рівності (3.5) виражають теорему про зміну моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки відносно осі: похідна за часом від моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки відносно будь-якої нерухомої осі дорівнює моменту діючої на цю точку сили відносно тієї ж осі .
Розглянемо наслідки, що випливають з теорем (3.4) і (3.5).
Слідство 1. Розглянемо випадок, коли сілаF в усі час руху точки проходить через нерухомий центрO (випадок центральної сили), тобто когдаM0 (F) = 0. Тоді з теореми (3.4) випливає, чтоk0 = const,
тобто в разі центральної сили момент кількості руху (кінетичний момент) матеріальної точки відносно центру цієї сили залишається постійним по модулю і напрямку (рисунок 3.2).
З умови k0 = const випливає, що траєкторія рухається точки являє собою плоску криву, площина якої проходить через центр цієї сили.
тобто якщо момент діє на точку сили щодо будь-якої нерухомої осі завжди дорівнює нулю, то момент кількості руху (кінетичний момент) точки відносно цієї осі залишається постійним.
Доказ теореми обь іхмененіі кількості руху
Нехай система складається з матеріальних точекс массаміі ускорениями. Всі сили, що діють на тіла системи, розділимо на два види:
Зовнішні сили - сили, що діють з боку тіл, що не входять в дану систему. Рівнодіючу зовнішніх сил, що діють на матеріальну точку з номером i позначимо.
Внутрішні сили - сили, з якими взаємодіють один з одним тіла самої системи. Силу, з якою на точку з номером i діє точка з номеромk. будемо позначати, а силу воздействіяi -й точки наk -ю точку -. Очевидно, що при, то
Використовуючи введені позначення, запишемо другий закон Ньютона для кожної з розглянутих матеріальних точок у вигляді
З огляду на, що і підсумовуючи все рівняння другого закону Ньютона, отримуємо:
Вираз являє собою суму всіх внутрішніх сил, що діють в системі. За третім законом Ньютона в цій сумі кожної сілесоответствует сілатакая, щоі, значить, виполняетсяПоскольку вся сума складається з таких пар, то і сама сума дорівнює нулю. Таким чином, можна записати
Використовуючи для кількості руху системи позначення, отримаємо
Ввівши в розгляд зміна імпульсу зовнішніх сил, отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в диференціальної формі:
Таким чином, кожне з останніх отриманих рівнянь дозволяє стверджувати: зміна кількості руху системи відбувається тільки в результаті дії зовнішніх сил, а внутрішні сили ніякого впливу на цю величину надати не можуть.
Проинтегрировав обидві частини отриманого рівності по довільно взятому проміжку часу між деякими і, отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в інтегральної формі:
де и- значення кількості руху системи в моменти временіісоответственно, а- імпульс зовнішніх сил за проміжок часу. У відповідності зі сказаним раніше і введеними позначеннями виконується