Зв’язок між потенціалом і напруженістю

Електричне поле описують за допомогою векторної величини. або за допомогою скалярної величини j. Між ними існує зв'язок. Наприклад, робота при переміщенні заряду в електростатичному полі

dA = qEdr. значить - qEdr = qd j, E = - d j / dr. (1.21)

Покажемо, що зміна потенціалу вздовж силової лінії максимально. Напруженість поля уздовж довільного напрямку дорівнює:. де кут a це кут між векторами і. З іншого боку тому cosa <1, то при cos a = 1. Tо есть, в направлении силовой линии значение вектора напряженности . а значит и величина в этом направлении, будет максимальной. Знак минус указывает на то, что вектор направлен в сторону наиболее быстрого убывания потенциала. Из уравнения (1.21) следует, что напряженность поля численно равна скорости изменения потенциала вдоль силовой линии. На основании формулы (1.21) видно, что единицей измерения Е является вольт/метр (В/м).

Електростатичне поле можна зображувати за допомогою еквіпотенційних поверхонь (малюнок 1.16). Еквіпотенціальною поверхнею - геометричне місце точок з однаковим потенціалом. Навколо кожної системи зарядів можна провести безліч еквіпотенційних поверхонь. Зазвичай їх проводять таким чином, щоб різниця потенціалів між двома сусідніми еквіпотенціальними поверхнями була однакова. Знаючи розташування силових ліній поля, можна побудувати еквіпотенціальною поверхнею, і навпаки. Еквіпотенціальною поверхнею проводять завжди перпендикулярно лініям Е. еквіпотенційної поверхню за визначенням j = const, отже = 0 уздовж поверхні, тобто = = E cosa = 0, значить cos a = 0, тобто a = 90 0.

Обчислення потенціалу деяких простих полів

1. Поле точкового заряду

2. Поле, створюване, нескінченної рівномірно зарядженої площиною

3. Електричне поле між двома паралельними нескінченними площинами, зарядженими рівномірно і різнойменно

де d - відстань між обкладками конденсатора.

4. Електричне поле нескінченного рівномірно зарядженого циліндра

Різниця потенціалів між обкладинками циліндричного конденсатора

5. Електричне поле рівномірно зарядженої сферичної поверхні

Поклавши r1 = R. а r2 = ¥ знайдемо потенціал зарядженої сферичної поверхні

6. Електричне поле рівномірно зарядженої кулі за обсягом

Формула придатна для обчислення різниці потенціалів всередині кулі.

Для визначення різниці потенціалів поза кулі

Повідомлений провіднику заряд розподіляється по поверхні так, що напруженість поля всередині провідника дорівнює нулю. Якщо провіднику, що має заряд, повідомити ще заряд, то другий заряд повинен розподілитися так само, як і перший, інакше поле в провіднику не дорівнюватиме нулю. Це справедливо в разі, якщо збільшення заряду на провіднику не викличе зміни зарядів на оточуючих тілах. Ставлення щільності заряду в двох точках поверхні провідника при будь-якій величині заряду буде однаково. Звідси випливає, що потенціал відокремленого провідника пропорційний знаходиться на ньому заряду. Дійсно, збільшення в кілька разів заряду призводить до збільшення в той же число раз напруженості поля в кожній точці навколишнього провідник простору. Отже, в таке ж число раз зросте робота перенесення з будь-якого шляху одиничного заряду з нескінченності на поверхню провідника, тобто потенціал провідника. Таким чином, для відокремленого провідника

Коефіцієнт пропорційності C називається електроємна або просто ємністю провідника. З рівняння (1.22) випливає, що

ємність чисельно дорівнює заряду, повідомлення якого провіднику підвищує його потенціал на одиницю. В системі СІ електроємність вимірюється в Фарада. Одна Фарада - це ємність такого провідника, якому повідомляють заряд в 1 Кл, а його потенціал при цьому зростає на 1 В.

Фарада це дуже велика одиниця ємності, тому на практиці використовуються більш дрібні одиниці - мікрофарад і пікофарад (10-6 і 10-12 Ф).

Відокремлений провідник має малу ємністю. Навіть куля приблизно таких же розмірів, як Земля, має ємність всього 700 мкФ. А на практиці є потреба в пристроях, які при невеликому розмірі накопичували б на себе великі заряди. Ці пристрої називаються конденсатори. В основу конденсаторів покладено той факт, що електроємність провідника зростає при наближенні до нього інших тіл. Під дією поля, створюваного зарядженим провідником, на піднесеної до нього тілі виникають індуковані (на провіднику) або пов'язані (на діелектрику) заряди. Протилежні за знаком заряду провідники розташовуються ближче один до одного, ніж однойменні, і надають більший вплив на потенціал провідника. Тому, при тому, що піднесло до зарядженого провідника іншого тіла потенціал провідника зменшується за абсолютною величиною. Це означає, що ємність провідника збільшиться.

Конденсатори представляють собою два провідники (обкладання конденсатора), розташованих близько один до одного, розділених шаром діелектрика. Щоб зовнішні тіла не впливали на ємність, обкладкам надають таку форму і так мають у своєму розпорядженні їх відносно один одного, щоб поле, створюване що накопичуються на них зарядами, було повністю зосереджено всередині конденсатора. Цій умові задовольняють дві пластини, розташовані близько один до одного, два коаксіальних циліндра і дві концентричні сфери. Відповідно конденсатори бувають плоскі, циліндричні та сферичні.

Так як поле укладено всередині конденсатора, лінії електричного зміщення починаються на одній обкладці і закінчуються на інший. Значить, вільні заряди, що виникають на різних обкладках, однакові за величиною і різні за знаком. Ємність - фізична величина, пропорційна заряду і обернено пропорційна різниці потенціалів обкладок

Ємність конденсатора вимірюється так само, як і ємність відокремленого провідника, в Фарада. Величина ємності визначається формою, величиною обкладок і товщиною діелектрика між ними.

1. Ємність плоского конденсатора.

Напруженість поля між обкладками

де S - площа обкладки; q - заряд на ній.

Різниця потенціалів між обкладинками:. отже,

Ця формула виражає ємність плоского конденсатора. З формули (1.24) видно, що e0 - має розмірність (Ф / м).

2. Ємність циліндричного конденсатора.

Напруженість поля між обкладками циліндричного конденсатора

де - довжина обкладок. Різниця потенціалів знаходимо шляхом інтегрування

де R1 і R2 - радіуси внутрішньої і зовнішньої обкладок конденсатора. Звідси ємність циліндричного конденсатора

3. Ємність сферичного конденсатора.

Напруженість поля між обкладками сферичного конденсатора

Ємність сферичного конденсатора

Крім ємності, кожен конденсатор характеризується граничним напруженням, яке можна прикладати до обкладкам, не побоюючись пробою. При пробої між обкладинками проскакує іскра, через що руйнується діелектрик і конденсатор виходить з ладу.

Якщо з'єднати конденсатори в батарею, то можна розширити число значень ємності та напруги. Конденсатори можна з'єднувати паралельно (рисунок 1.17) і послідовно (рисунок 1.18).

При паралельному з'єднанні одна з обкладок кожного конденсатора має потенціал j1. інша - j2. Значить, на кожній з двох систем обкладок накопичується сумарний заряд

В результаті при паралельному з'єднанні загальна ємність обчислюється

При паралельному з'єднанні конденсаторів ємності складаються. Максимальне напруження батареї одно найменшому з значень для конденсаторів в батареї.

При послідовному з'єднанні заряд на кожному конденсаторі однаковий. Напруга на кожному з конденсаторів

Сума цих напруг дорівнює різниці потенціалів, яка додається до батареї

При послідовному з'єднанні складаються величини, зворотні їх ємностей. Напруга дорівнює сумі напруг на кожному конденсаторі.

Якщо n однакових конденсаторів з ємністю С кожен з'єднати спочатку паралельно і зарядити їх до різниці потенціалів Dj, а потім з'єднати їх послідовно, то на батареї з'явиться різниця потенціалів, що дорівнює n Dj. На цьому принципі заснований пристрій імпульсного генератора, що дозволяє отримати різницю потенціалів в 10 6 В. Імпульсний генератор застосовується при вивченні короткочасних перенапруг, що виникають в пристроях під впливом грозових розрядів та інших причин.

Енергія електричного поля

Сили, з якими взаємодіють заряджені тіла, консервативні. Знайдемо потенційну енергію зарядженого провідника. Нехай є провідник, у якого електроємність, заряд і потенціал відповідно рівні С, q, j. Робота, що здійснюється проти сил електростатичного поля при перенесенні заряду q з нескінченності на провідник

dA = j × dq = C × j × d j.

Для того щоб зарядити тіло від нульового потенціалу до j, треба виконати роботу

Очевидно, що енергія зарядженого тіла дорівнює роботі, яку необхідно зробити, щоб зарядити тіло

Аналогічно знаходиться енергія зарядженого конденсатора.

Процес виникнення зарядів на обкладинках можна змалювати таку картину: від однієї обкладки послідовно віднімають дуже малі порції заряду Dq і передають на іншу обкладку. Робота по перенесенню чергової порції заряду

Виходячи з формули (1.25), можна знайти силу взаємодії між обкладинками плоского конденсатора

тут х - відстань між обкладками конденсатора, значить

Знак мінус говорить, що це сила тяжіння.

Енергію конденсатора можна виразити через величини, що характеризують електричне поле в зазорі між обкладинками плоского конденсатора

Таким чином, можна записати

Формула (1.26) виражає енергію конденсатора через напруженість поля і обсяг.

Якщо напруженість поля однорідна, то щільність енергії

Формула (1.27) не справедлива для неоднорідного поля. З огляду на, що D = ee0E. отримаємо

З формули (1.28) видно, що при тій же напруженості поля щільність енергії в діелектрику більше, ніж у вакуумі, на

Ця величина являє собою ту частину енергії, яка витрачається на поляризацію одиниці об'єму діелектрика при створенні поля. Формула (1.28) крім власної енергії поля включає енергію, витрачену на поляризацію діелектрика. З формули (1.29) видно, що заповнення зазору між обкладинками конденсатора стає енергетично вигідним. Якщо обкладки плоского конденсатора одним кінцем опустити в рідкий діелектрик, то діелектрик втягується в конденсатор і його рівень в зазорі піднімається (рисунок 19). Це призводить до зростання потенційної енергії діелектриків в полі сил тяжіння. Рівень діелектрика в зазорі встановиться на деякій висоті, що відповідає мінімальної сумарної енергії, енергії електричного поля і енергії обумовленої силами тяжкості. Це явище схоже з капілярним явищем підняття рідини у вузькому зазорі між пластинками. Втягування діелектрика в зазор з мікроскопічної точки зору можна пояснити так. У країв пластин конденсатора є неоднорідне поле. Молекули діелектрика володіють дипольним моментом або набувають його під дією поля. Тому на них діють сили, які прагнуть перемістити їх в область сильного поля, тобто всередину конденсатора. Тому рідина втягується в зазор до тих пір, поки електричні сили не будуть врівноважені вагою рідини.

Знайдемо висоту підняття діелектрика між обкладинками

1. Які показники застосовуються для опису електростатичних полів? Як вони пов'язані один з одним (D, E. j)?

2. У чому полягає принцип суперпозиції електростатичних полів?

3. Якими двома способами можна графічно зобразити електростатичне поле?

4. Фізичний сенс теореми Остроградського - Гаусса?

5. Вкажіть два методи розрахунку величини електростатичного поля. Поясніть особливості їх застосування.

6. Що таке електроємність? Від чого залежить електроємність відокремленого провідника і конденсатора?

7. Ємність батареї конденсаторів при паралельному і послідовному з'єднанні?

8. Як розрахувати енергію електростатичного поля? Конденсатора?