Знайти кут між двома площинами (двогранний кут), рішення задач ЄДІ онлайн

\ (\ Blacktriangleright \) Двогранний кут - кут, утворений двома півплощини і прямий \ (a \). яка є їх спільним кордоном.

\ (\ Blacktriangleright \) Щоб знайти кут між площинами \ (\ xi \) і \ (\ pi \). потрібно знайти лінійний кут (причому гострий або прямий) двогранного кута, утвореного площинами \ (\ xi \) і \ (\ pi \):

Крок 1: нехай \ (\ xi \ cap \ pi = a \) (лінія перетину площин). У площині \ (\ xi \) відзначимо довільну точку \ (F \) і проведемо \ (FA \ perp a \);

Крок 2: проведемо \ (FG \ perp \ pi \);

Крок 3: по ТТП (\ (FG \) - перпендикуляр, \ (FA \) -наклонная, \ (AG \) - проекція) маємо: \ (AG \ perp a \);

Крок 4: кут \ (\ angle FAG \) називається лінійним кутом двогранного кута, утвореного площинами \ (\ xi \) і \ (\ pi \).

Зауважимо, що трикутник \ (AG \) - прямокутний.
Зауважимо також, що площину \ (AFG \). побудована таким чином, перпендикулярна обом площинам \ (\ xi \) і \ (\ pi \). Отже, можна сказати по-іншому: кут між площинами \ (\ xi \) і \ (\ pi \) - це кут між двома пересічними прямими \ (c \ in \ xi \) і \ (b \ in \ pi \) . утворюють площину, перпендикулярну і \ (\ xi \). і \ (\ pi \).

Нехай \ (SABCD \) - дана піраміда (\ (S \) - вершина), ребра якої рівні \ (a \). Отже, всі бічні грані являють собою рівні рівносторонні трикутники. Знайдемо кут між гранями \ (SAD \) і \ (SCD \).

Проведемо \ (CH \ perp SD \). Так як \ (\ triangle SAD = \ triangle SCD \). то \ (AH \) також буде висотою в \ (\ triangle SAD \). Отже, за визначенням \ (\ angle AHC = \ alpha \) - лінійний кут двогранного кута між гранями \ (SAD \) і \ (SCD \).
Так як в основі лежить квадрат, то \ (AC = a \ sqrt2 \). Зауважимо також, що \ (CH = AH \) - висота рівностороннього трикутника зі стороною \ (a \). отже, \ (CH = AH = \ frac2a \).
Тоді по теоремі косинусів з \ (\ triangle AHC \). \ [\ Cos \ alpha = \ dfrac = - \ dfrac13 \ quad \ Rightarrow \ quad 6 \ cos \ alpha = -2. \]

Площині \ (\ pi_1 \) і \ (\ pi_2 \) перетинаються під кутом, косинус якого дорівнює \ (0,2 \). Площині \ (\ pi_2 \) і \ (\ pi_3 \) перетинаються під прямим кутом, причому лінія перетину площин \ (\ pi_1 \) і \ (\ pi_2 \) паралельна лінії перетину площин \ (\ pi_2 \) і \ (\ pi_3 \). Знайдіть синус кута між площинами \ (\ pi_1 \) і \ (\ pi_3 \).

Додати завдання в обране

Нехай лінія перетину \ (\ pi_1 \) і \ (\ pi_2 \) - пряма \ (a \). лінія перетину \ (\ pi_2 \) і \ (\ pi_3 \) - пряма \ (b \). а лінія перетину \ (\ pi_3 \) і \ (\ pi_1 \) - пряма \ (c \). Так як \ (a \ parallel b \). то \ (c \ parallel a \ parallel b \) (по теоремі з розділу теоретичної довідки "Геометрія в просторі" \ (\ rightarrow \) "Введення в стереометрию, паралельність").

Відзначимо точки \ (A \ in a, B \ in b \) так, щоб \ (AB \ perp a, AB \ perp b \) (це можливо, так як \ (a \ parallel b \)). Відзначимо \ (C \ in c \) так, щоб \ (BC \ perp c \). отже, \ (BC \ perp b \). Тоді \ (AC \ perp c \) і \ (AC \ perp a \).
Дійсно, так як \ (AB \ perp b, BC \ perp b \). то \ (b \) перпендикулярна площині \ (ABC \). Так як \ (c \ parallel a \ parallel b \). то прямі \ (a \) і \ (c \) теж перпендикулярні площині \ (ABC \). а значить і будь-якої прямої з цієї площини, зокрема, прямий \ (AC \).

Звідси випливає, що \ (\ angle BAC = \ angle (\ pi_1, \ pi_2) \). \ (\ Angle ABC = \ angle (\ pi_2, \ pi_3) = 90 ^ \ circ \). \ (\ Angle BCA = \ angle (\ pi_3, \ pi_1) \). Виходить, що \ (\ triangle ABC \) прямокутний, а значить \ [\ sin \ angle BCA = \ cos \ angle BAC = 0,2. \]

Дано прямі \ (a, b, c \). пересічні в одній точці, причому кут між будь-якими двома з них дорівнює \ (60 ^ \ circ \). Знайдіть \ (\ cos ^ \ alpha \). де \ (\ alpha \) - кут між площиною, утвореної прямими \ (a \) і \ (c \). і площиною, утвореної прямими \ (b \) і \ (c \). Відповідь дайте у градусах.

Додати завдання в обране

Нехай прямі перетинаються в точці \ (O \). Так як кут між будь-якими двома з них дорівнює \ (60 ^ \ circ \). то все три прямі не можуть лежати в одній площині. Відзначимо на прямий \ (a \) точку \ (A \) і проведемо \ (AB \ perp b \) і \ (AC \ perp c \). Тоді \ (\ triangle AOB = \ triangle AOC \) як прямокутні по гіпотенузі і гострому куту. Отже, \ (OB = OC \) і \ (AB = AC \).
Проведемо \ (AH \ perp (BOC) \). Тоді по теоремі про три перпендикуляри \ (HC \ perp c \). \ (HB \ perp b \). Так як \ (AB = AC \). то \ (\ triangle AHB = \ triangle AHC \) як прямокутні по гіпотенузі і катету. Отже, \ (HB = HC \). Значить, \ (OH \) - бісектриса кута \ (BOC \) (так як точка \ (H \) рівновіддалена від сторін кута).

Зауважимо, що таким чином ми до того ж побудували лінійний кут двогранного кута, утвореного площиною, утвореної прямими \ (a \) і \ (c \). і площиною, утвореної прямими \ (b \) і \ (c \). Це кут \ (ACH \).

Знайдемо цей кут. Так як точку \ (A \) ми вибирали довільно, то нехай ми вибрали її так, що \ (OA = 2 \). Тоді в прямокутному \ (\ triangle AOC \). \ [\ Sin 60 ^ \ circ = \ dfrac \ quad \ Rightarrow \ quad AC = \ sqrt3 \ quad \ Rightarrow \ quad OC = \ sqrt = 1. \] Так як \ (OH \) - бісектриса, то \ (\ angle HOC = 30 ^ \ circ \). отже, в прямокутному \ (\ triangle HOC \). \ [\ Mathrm \, 30 ^ \ circ = \ dfrac \ quad \ Rightarrow \ quad HC = \ dfrac1. \] Тоді з прямокутного \ (\ triangle ACH \). \ [\ Cos \ angle \ alpha = \ cos \ angle ACH = \ dfrac = \ dfrac13 \ quad \ Rightarrow \ quad \ cos ^ \ alpha = 3. \]

Так як три ребра, що виходять з однієї вершини куба, попарно взаємно перпендикулярні, то ребро \ (A_1D_1 \) перпендикулярно площині грані \ (AA_1B_1B \) \ (\ Rightarrow \) \ (AA_1B_1 \ perp A_1BC \) і \ (AA_1B_1 \ perp A_1KL \). тоді величина лінійного кута \ (\ angle KA_1B \) збігається з шуканим двогранним кутом.

Приймемо сторону куба за \ (x \) і розглянемо трикутник \ (\ triangle A_1KB \). \ (KB = \ frac \ cdot AB = \ fracx \). \ (A_1B \) - діагональ квадрата \ (\ Rightarrow \) \ (A_1B = \ sqrt2x \). а сторону \ (A_1K \) можна знайти за теоремою Піфагора з трикутника \ (\ triangle A_1AK \):

\ [A_1K ^ 2 = A_1A ^ 2 + AK ^ 2 = A_1A ^ 2 + (\ frac) ^ 2 = x ^ 2 + \ frac = \ frac \ \ Rightarrow \ A_1K = \ frac. \]

Знаючи всі три сторони в трикутнику \ (\ triangle A_1KB \). можна скористатися теоремою косинусів, щоб знайти косинус шуканого кута:

\ (KB ^ 2 = A_1K ^ 2 + A_1B ^ 2 - 2 \ cdot A_1K \ cdot A_1B \ cdot \ cos \ angle KA_1B \) \ (\ Rightarrow \)

\ (\ Frac = \ frac + 2x ^ 2 - 2 \ cdot \ frac \ cdot \ sqrt2x \ cdot \ cos \ angle KA_1B \) \ (\ Rightarrow \)

\ (\ Cos \ angle KA_1B = \ frac> \) \ (\ Rightarrow \) \ (\ cos ^ 2 \ angle KA_1B = 0,9 \).

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

Площині \ (\ pi_1 \) і \ (\ pi_2 \) перетинаються по прямій \ (l \). на якій лежать точки \ (M \) і \ (N \). Відрізки \ (MA \) і \ (MB \) перпендикулярні прямий \ (l \) і лежать в площинах \ (\ pi_1 \) і \ (\ pi_2 \) відповідно, причому \ (MN = 15 \). \ (AN = 39 \). \ (BN = 17 \). \ (AB = 40 \). Знайдіть \ (3 \ cos \ alpha \). де \ (\ alpha \) - кут між площинами \ (\ pi_1 \) і \ (\ pi_2 \).

Додати завдання в обране

Трикутник \ (AMN \) прямокутний, \ (AN ^ 2 = AM ^ 2 + MN ^ 2 \). звідки \ [AM ^ 2 = 39 ^ 2 - 15 ^ 2 = 36 ^ 2. \] Трикутник \ (BMN \) прямокутний, \ (BN ^ 2 = BM ^ 2 + MN ^ 2 \). звідки \ [BM ^ 2 = 17 ^ 2 - 15 ^ 2 = 8 ^ 2. \] Запишемо для трикутника \ (AMB \) теорему косинусів: \ [AB ^ 2 = AM ^ 2 + MB ^ 2 - 2 \ cdot AM \ cdot MB \ cdot \ cos \ angle AMB. \] Тоді \ [40 ^ 2 = 36 ^ 2 + 8 ^ 2 - 2 \ cdot 36 \ cdot 8 \ cdot \ cos \ angle AMB \ qquad \ Leftrightarrow \ qquad \ cos \ angle AMB = - \ dfrac \] Так як кут \ (\ alpha \) між площинами - це гострий кут, а \ (\ angle AMB \) вийшов тупим, то \ (\ cos \ alpha = \ dfrac5 \). Тоді \ [3 \ cos \ alpha = \ dfrac54 = 1,25. \]

Підготовка учнів до здачі ЄДІ з математики, як правило, починається з повторення основних формул, в тому числі і тих, які дозволяють визначити кут між площинами. Незважаючи на те, що цей розділ геометрії досить докладно висвітлюється в рамках шкільної програми, багато випускників потребують повторенні базового матеріалу. Розуміючи, як знайти кут між площинами, старшокласники зможуть оперативно обчислити правильну відповідь в ході виконання завдання і розраховувати на отримання гідних балів за підсумками здачі єдиного державного іспиту.

Основні нюанси

Спочатку необхідно визначити пряму, по якій перетинаються площини.

Потім на цій прямій потрібно вибрати точку і провести до неї два перпендикуляра.

Наступний крок - знаходження тригонометричної функції двогранного кута, який утворений перпендикулярами. Робити це найзручніше за допомогою отриманого трикутника, частиною якого є кут.

Відповіддю буде значення кута або його тригонометричної функції.

Підготовка до екзаменаційного випробування разом зі «Школково» - запорука вашого успіху

В процесі занять напередодні здачі ЄДІ багато школярів стикаються з проблемою пошуку визначень і формул, які дозволяють обчислити кут між 2 площинами. Шкільний підручник не завжди є під рукою саме тоді, коли це необхідно. А щоб знайти потрібні формули і приклади їх правильного застосування, в тому числі і для знаходження кута між площинами в Інтернеті в режимі онлайн, деколи потрібно витратити чимало часу.

Математичний портал «Школково» пропонує новий підхід до підготовки до держіспиту. Заняття на нашому сайті допоможуть учням визначити найбільш складні для себе розділи і заповнити прогалини в знаннях.

Ми підготували і зрозуміло виклали весь необхідний матеріал. Базові визначення та формули представлені в розділі «Теоретична довідка».

Для того щоб краще засвоїти матеріал, пропонуємо також попрактикуватися у виконанні відповідних вправ. Велика добірка завдань різного ступеня складності представлена ​​в розділі «Каталог». Всі завдання містять докладний алгоритм знаходження правильної відповіді. Перелік вправ на сайті постійно доповнюється і оновлюється.

Практикуючись в рішенні задач, в яких потрібно знайти кут між двома площинами, учні мають можливість в онлайн-режимі зберегти будь-яке завдання в «Вибране». Завдяки цьому вони зможуть повернутися до нього необхідну кількість разів і обговорити хід його рішення зі шкільним учителем або репетитором.