Знаходження закону руху тіла по заданим прискоренню і початкових умов (пряма задача

Розглянемо пряму задачу кінематики, знаючи проекції прискорення тіла ax. ay. az на осі координат як функції часу, визначимо залежність координат даного тіла від часу, тобто визначимо положення тіла в просторі в будь-який момент часу. Для цього необхідно знати ще й так звані початкові умови, тобто координати тіла x0. y0. z0 в момент часу t = t0. а також проекції його початковій швидкості v0x. v0y. v0z в той же момент часу.

Отже, нехай відомі: ax = ax (t) проекція прискорення матеріальної точки на вісь x як функція часу, v0x - проекція на вісь x початкової швидкості, x0 - координата матеріальної точки в момент часу t0.

Знайдемо проекцію швидкості цього тіла vx на вісь x і його координату x як функцію часу. Тобто

Як відомо, проекція прискорення на вісь x дорівнює

Похідну dvx / dt можна розуміти як відношення елементарно малого зміни проекції швидкості dvx на вісь x до відповідного елементарно малому приросту часу dt. Але при цьому величина dt повинна бути настільки малою, що з її подальшим зменшенням відносини dvx / dt практично вже змінюватися не буде.

В силу сказаного можемо співвідношення ax = dvx / dt помножити на dt і отримаємо: dvx = ax dt - елементарно малий приріст швидкості за малий відрізок часу dt.

З урахуванням цього знайдемо зміна проекції швидкості vx за кінцевий відрізок часу від початкового t0 до t, для чого весь відрізок часу t-t0 розіб'ємо точками t1. t2. t3. tn = t на n елементарних частин (рис. 1.10).

Якщо значення проекції швидкості vx в моменти часу t1. t2. t3. tn позначені умовно через v0x. v1x. v2x. vx. то її зміни за послідовно примикають один до одного елементарні відрізки часу

,

де a1x. a2x. anx - значення проекцій прискорення ax відповідні відрізках часу dt1. dt2. dt3. dtn.

Склавши ці рівності, отримаємо

, тобто отримуємо зміну швидкості за весь проміжок часу t-t0.

Розглянемо. Кожне складова aix dti дорівнює площі прямокутника з основою dti і висотою aix. Вся сума чисельно дорівнює сумі площ всіх таких елементарних прямокутників.

При dti → ступінчаста лінія зіллється з кривою ax (t), таким чином, зміна швидкості за час t-t0 дорівнюватиме площі фігури, обмеженої кривою ax = ax (t), віссю часу t і прямими t = t0; t = tn.

Отже, переходячи до границі при dt1 → 0, отримаємо

Межа суми нескінченно великого числа нескінченно малих доданків, що представляють собою твори значень функції ax (t) на відповідні їм збільшення аргументу dt за умови, що dt1 → 0, називається інтегралом даної функції. тоді маємо

.

Таким же шляхом, знаючи залежність проекції швидкості тіла на вісь x від часу і координату x0 в початковий момент часу t0. можна визначити координату тіла x як функцію часу.

Відомо, що vx = dx / dt, звідки dx = vx dt - зміна координати x за елементарно малий відрізок часу dt.

Зміна координати тіла x за кінцевий відрізок часу t-t0 дорівнюватиме межі суми елементарних її змін, що проходять за все елементарні відрізки часу dti. складові кінцевий відрізок часу t-t0. за умови, що dti → 0, то, звідки.

Точно так же знаходяться проекції швидкості тіла на інші осі координат і самі координати рухомого тіла як функції часу.