Знаходження відстані між паралельними прямими на площині

Відстань між двома паралельними прямими - це відстань від довільної точки однієї з паралельних прямих до іншої прямої.

Для наочності зобразимо дві паралельні прямі a і b, відзначимо на прямий а довільну точку М1, опустимо перпендикуляр з точки М1 на пряму b, позначивши його H1. Відрізок М1H1 відповідає відстані між паралельними прямими a і b.

Наведене визначення відстані між двома паралельними прямими справедливо як для паралельних прямих на площині, так і для прямих в тривимірному просторі. Більш того, таке визначення відстані між двома паралельними прямими прийнято не випадково. Воно тісно пов'язане з наступною теоремою.

Всі точки однієї з двох паралельних прямих видалені на однакову відстань від іншої прямої.

Розглянемо паралельні прямі a і b. Відзначимо на прямий a точку М1, опустимо з неї перпендикуляр на пряму b. Підстава цього перпендикуляра позначимо як H1. Тоді довжина перпендикуляра М1H1 є відстань між паралельними прямими a і b за визначенням. Доведемо, що дорівнює. де М2 - довільна точка прямої a, відмінна від точки M1, а H2 - підстава перпендикуляра, проведеного з точки М2 на пряму b. Довівши цей факт, ми доведемо і саму теорему.

Так як внутрішні навхрест лежачі кути, утворені при перетині двох паралельних прямих січною, рівні (про це йшлося в статті паралельні прямі, паралельність прямих), то. а пряма M2H2, перпендикулярна прямий b з побудови, перпендикулярна і прямий a. Тоді трикутники М1H1H2 і М2М1H2 прямокутні, і, більш того, вони рівні по гіпотенузі і гострому куту: М1H2 - загальна гіпотенуза,. З рівності трикутників випливає рівність їх відповідних сторін, тому,. Теорема доведена.

Слід зауважити, що відстань між двома паралельними прямими є найменшим з відстаней від точок одній прямій до точок інший прямий.

Знаходження відстані між паралельними прямими - теорія, приклади, рішення.

Отже, знаходження відстані між паралельними прямими зводиться до знаходження довжини перпендикуляра, проведеного з деякою точки однієї з прямих на іншу пряму. При цьому підбирається метод, що дозволяє це відстань відшукати. Вибір методу залежить від умов конкретного завдання. У деяких випадках можна використовувати теорему Піфагора, в інших - ознаки рівності або подібності трикутників, визначення синуса, косинуса або тангенса кута і т.п. Якщо ж паралельні прямі задані в прямокутній системі координат, то відстань між заданими паралельними прямими можна обчислити методом координат. На ньому і зупинимося.

Сформулюємо умову задачі.

Нехай на площині або в тривимірному просторі зафіксована прямокутна система координат, задано дві паралельні прямі a і b і потрібно знайти відстань між цими прямими.

Вирішення цієї задачі будується на визначенні відстані між паралельними прямими - щоб знайти відстань між двома заданими паралельними прямими потрібно:

визначити координати деякої точки М1, що лежить на прямій a (або на прямий b);

обчислити відстань від точки М1 до прямої b (або a).

З визначенням координат точки М1, що лежить на який-небудь із заданих паралельних прямих, проблем не виникне, якщо, звичайно, Вам знайомі основні види рівняння прямої на площині і рівняння прямої в просторі. Для знаходження відстані від точки М1 до потрібної із заданих паралельних прямих Вам буде корисна інформація з розділу знаходження відстані від точки до прямої.

Зокрема, якщо в прямокутній системі координат Oxy на площині пряму a задає загальне рівняння прямої виду. а пряму b, паралельну прямій a, - загальне рівняння прямої. то відстань між цими паралельними прямими можна обчислити за формулою.

Покажемо висновок цієї формули.

Візьмемо точку. яка лежить на прямій a, тоді координати точки М1 задовольняють рівняння. тобто, справедливо рівність. звідки маємо.

Якщо. то нормальне рівняння прямої b має вигляд. а якщо . то нормальне рівняння прямої b має вигляд. Тоді при відстань від точки до прямої b обчислюється за формулою. а при - за формулою

Тобто, при будь-якому значенні С2 відстань від точки до прямої b можна обчислити по формулі. А якщо врахувати рівність. яке було отримано вище, то остання формула набуде вигляду. На цьому виведення формули для обчислення відстань між двома паралельними прямими, заданими загальними рівняннями прямих виду і завершений.

Розберемо рішення прикладів.

Почнемо з знаходження відстані між двома паралельними прямими, заданими в прямокутній системі координат Oxy на площині.

Знайдіть відстань між паралельними прямими і.

Очевидно, що пряма, якій відповідають параметричні рівняння прямої на площині виду. проходить через точку.

Шукане відстань між паралельними прямими дорівнює відстані від точки до прямої. Обчислимо його.

Будемо мати нормальну рівняння прямої, якій відповідає рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом виду. Для цього спочатку запишемо загальне рівняння прямої:. Тепер обчислимо нормирующий множник:. Помноживши на нього обидві частини останнього рівняння, маємо нормальне рівняння прямої:. Шукане відстань дорівнює модулю значення виразу. обчисленого при. Отже, відстань між заданими паралельними прямими одно

Другий спосіб вирішення.

Отримаємо загальні рівняння заданих паралельних прямих.

Вище ми з'ясували, що прямий відповідає загальне рівняння прямої. Перейдемо від параметричних рівнянь прямої виду до загального рівняння цієї прямої:

Коефіцієнти при змінних x і y в отриманих загальних рівняннях паралельних прямих рівні, тому ми відразу можемо застосувати формулу для обчислення відстані між паралельними прямими на площині:.

.