Завдання по геометрії

Дуже багато подібних завдання вирішуються додатковим побудовою (добудованих, прибудованих.). Потрібно взяти ще одну таку саму призму, "поставити" на вихідну. Верхні точки доданої призми позначити тими ж буквами з індексом 2, тобто А2, В2 і С2. Відразу ж стає ясно, що шукана площину (АКС) є частиною площині трикутника АВ2С, і що точка Р лежить на середині А1В1.

Далі, відстань ВН найпростіше визначити через обсяг піраміди АВСВ2. Якщо розглядати в якості підстави піраміди площину трикутника АВС, (висота ВВ2 = 6), то обсяг

З іншого боку, в якості основи піраміди можна розглядати площину трикутника АВ2С, тоді ВН - висота цієї піраміди. Залишилося обчислити площу трикутника АВ2С. Він рівнобедрений. Сторони АВ2 і СВ2 легко обчислюються за Піфагором і рівні √40. Висота також за Піфагором дорівнює √39. Значить площа трикутника АВ2С дорівнює (1/2) * 2 * √39 = √39. Тоді ВН = 6√3 / √39) = 6 / √13 = 1,664100589

Забудемо на час про призмі. Є дві паралельні площині підстав. Вони перетинаються третьою (APKC). Лінії перетинів з вихідними площинами повинні бути паралельні між собою. АС || PK || A1C1, Звідси бічні сторони верхнього підстави А1В1 і С1В1 діляться в рівній пропорції, як в іншому і висота даного трикутника. Отже точка "Р" побудована правильно.

Подібні завдання найбільш зручно вирішувати в стилі нарисної геометрії. Коли малюнок виконується з потрібної точки зору. В даному випадку це вид в торець відрізка АС, таким чином, щоб площина BNN1B1 відобразилася на кресленні в натуральну величину. Але сьогодні обійдемося ізометрією.

Найкоротша відстань до площини є перпендикуляр, а значить ВН перпендикулярний будь-якої прямої лежить в площині, зокрема NM.

Назвемо сторону трикутника "а"

Його висоту "h"

Висоту призми "G"

Що характерно, що збільшення величини G практично не впливає на результат розрахунку. І в перспективі ВН прагнути до "h".