заняття 13
1. Визначення складної функції
В математиці складною функцією називають функцію від функції, коли функція залежить від аргументу безпосередньо, а через "проміжну" функцію:
Якщо позначити f (x) через v. то отримаємо:
де v = f (x) - проміжна функція.
Проміжну функцію v = f (x) називають внутрішньою. а функцію y = F (v) - зовнішньої. наприклад:
Термін "складна" функція не є поняттям складності накреслення або дослідження функції, а вказує на вид, "конструкцію" функціональної залежності.
Складна функція може мати і більшу кількість ступенів (в загальному випадку n - ступенів), наприклад, функція
y = (lg sin x) 1/2 має "триступеневу" функціональну залежність функції y від аргументу x:
v = f (x) = sin x - тригонометрическая функція;
u = F (v) = lg v - логарифмічна функція;
2. Побудова графіків складних функцій
Графіки складних функцій можна будувати, як і графіки простих, на підставі загального дослідження функції, використовуючи прийоми програмування, викладені в попередніх заняттях, в яких деякі завдання на самостійну роботу є складними функціями.
В даному занятті пропонуються для вивчення нові прийоми для побудови графіків складних функцій.
При дослідженні складної функції, зокрема функції від функції, слід бути особливо уважним при определеніїі області існування і встановлення загальних властивостей функції, як парність, непарність, періодичність.
При дослідженні області існування складної функції (1) слід звернути увагу на те, що в область існування увійдуть тільки ті значення аргументу з області існування внутрішньої функції v = f (x). для яких відповідні значення внутрішньої функції v. розглядаються як аргумент зовнішньої функції y = F (x), увійдуть в її область існування. Для інших значень x функція (1) не має сенсу.
Побудова графіка можна значно полегшити, якщо попередньо побудувати графік внутрішньої функції для визначення властивостей функції (парність, непарність, періодичність) і області її існування. Потім побудувати графік заданої функції для ділянки, обмеженої одним періодом для періодичної і правою частиною для парної і лівою частиною для непарної функцій.
Отже, побудова графіка складної функції слід проводити за таким алгоритмом:
1. Визначити кількість проміжних функцій (ступенів) і записати кожну проміжну функцію у вигляді простої (1), (2) і т. Д.
2. Побудувати графік n - ної проміжної функції і визначити її загальні властивості: область існування (визначення), парність, непарність, періодичність.
3. Побудувати графік n - 1 проміжної функції, використовуючи значення n - ної функції як аргумент і визначити її загальні властивості і т. Д.
4. На підставі графіків проміжних функцій побудувати графік заданої функції.
2.1. Приклади побудови графіків складних функцій
Як приклади побудови графіків складних функцій наводяться програми побудови (див. Додатки).
Запишемо внутрішню функцію як v = cos x. тоді зовнішня функція буде y = ln v.
Область існування внутрішньої функції v = cos x - вся числова вісь, але так як ця функція є аргументом зовнішньої логарифмічною функції, то в область існування цієї функції входять тільки ті значення аргументу x. для яких v = cos x> 0. тобто позитивні напівхвилі косинусоид. Функція v = cos x змінюється від 0 до 1. Логарифм одиниці дорівнює 0, а логарифм 0 не існує, отже крива заданої функції розташована нижче осі абсцис, а область визначення - безліч напівінтервалів:
де: n - будь-яке дійсне число.
Задана функція парна, т. К. Внутрішня функція парна.
Програма побудови графіка даної функції наведена в додатку 1.
Дана складна функція може бути записана через дві проміжні:
Загальні властивості даної функції визначаються по другій допоміжної функції w = x2. яка є статечної з позитивним показником ступеня. Друга допоміжна функція парна, неперіодичних, областю існування якої є вся числова вісь. Крива графіка вихідної функції лежить вище осі ординат.
Програма побудови графіка наведена в додатку 2.
'Програма побудови графіка складної функції
'Y = ln cos x
'
CLS 'Очистити екран
SCREEN 12 'Встановити графічний режим
WIDTH 80, 60 'Висота екрану 60 рядків
pi = 3.14 'Значення pi
'
'Текстове оформлення графіка
'
LOCATE 8, 45: PRINT "функції: Y = Ln COS X"
LOCATE 13, 42: PRINT "Внутрішня функція: v = cos x"
LOCATE 15, 42: PRINT "Зовнішня функція: y = ln v"
LOCATE 18, 42
PRINT "Допоміжний графік внутрішньої"
LOCATE 20, 42
PRINT "функції зображений точками. це "
LOCATE 22, 42: PRINT "косинусоид."
LOCATE 24, 42
PRINT "Значення внутрішньої функції"
LOCATE 26, 42
PRINT "використовуються в якості аргументу"
LOCATE 28, 42
PRINT "зовнішньої логарифмічною функції."
LOCATE 30, 10
PRINT "Логарифм негативного числа не існує,"; PRINT "тому аргументом"
LOCATE 32, 6
PRINT "для зовнішньої логарифмічною функції служать"; PRINT "позитивні значення"
LOCATE 34, 6
PRINT "внутрішньої функції - косинусоид."
LOCATE 34, 40
PRINT "Максимальні позитивні значення"
LOCATE 36, 6
PRINT "функції v = cos x рівні 1, а для зовнішньої";
PRINT "функції y = ln v значення"
LOCATE 38, 6: PRINT "рівні 0."
LOCATE 38, 15
PRINT "У міру наближення значень внутрішньої"; PRINT "функції до 0, зовнішня"
LOCATE 40, 6
PRINT "прагне до -oo. Функція парна, періодична ";
PRINT "з періодом 2pi. область "
LOCATE 42, 6
PRINT "існування функції безліч";
PRINT "напівінтервалів:"
LOCATE 44, 35: PRINT "pi pi"
LOCATE 45, 25: PRINT "2 * pi * n - ---
LOCATE 48, 6
PRINT "де n - цілі позитивні числа."
LOCATE 54, 20
PRINT "Рис.1. Графік складної функції y = ln cos x. "
'
LOCATE 16, 37: PRINT "0"
LOCATE 12, 37: PRINT "0,5"
LOCATE 8, 37: PRINT "1"
LOCATE 18, 3: PRINT "-0,25"
LOCATE 20, 3: PRINT "-0,5"
LOCATE 22, 3: PRINT "-0,75"
'
LOCATE 25, 6: PRINT "-4pi"
LOCATE 25, 13: PRINT "-2pi"
LOCATE 25, 22: PRINT "0"
LOCATE 25, 25: PRINT "pi"
LOCATE 25, 28: PRINT "2pi"
LOCATE 25, 32: PRINT "3pi"
LOCATE 25, 36: PRINT "4pi"
'
'Організація графічного вікна 1
VIEW (60, 60) - (280, 180), 8, 8
'Визначення системи координат
WINDOW (-720, 1) - (720, -1)
'
'Побудова координатної сітки і осей координат
FOR i = -1 TO 1 STEP .1
LINE (-720, i * 2.5) - (720, i * 2.5), 0 'Горизонт. лінії
LINE (720 * i * 1.25, -1) - (720 * i * 1.25, 1), 0 'Вертик. лінії
NEXT i 'Наступний
'
LINE (-720, 0) - (720, 0), 7 'Ось абсцис
LINE (0, -1) - (0, 1), 7 'Вісь ординат
'
'Цикл побудови графіка внутрішньої функції
FOR g = -720 TO 720 STEP 10
rn = g * pi / 180 'Перерахунок кута в радіани міру
x = g 'Присвоїти "x" значен. кута "g"
v = COS (rn) 'Розрахунок функції
PSET (x, v), 15 'Зображення точки кривої
NEXT g 'Наступний
'
'Побудова графіка зовнішньої функції
a = -720: b = -631: GOSUB 10
a = -450: b = -271: GOSUB 10 'Завдання напівінтервалів і
a = -90: b = 90: GOSUB 10 'перехід в підпрограму
a = 271: b = 450: GOSUB 10 'розрахунку і побудови
a = 631: b = 720: GOSUB 10 'функції
DO 'Очікування натискання будь-якої клавіші для виходу
LOOPWHILEINKEY $ = "" 'на повідомлення QBASIC
END 'Кінець програми
'
10. 'Підпрограма розрахунку зовнішньої функції
FOR g = a TO b STEP .5 'Цикл побудови кривої
rn = g * pi / 180 'Перерахунок кута в радіани міру
x = g 'Присвоїти "x" значен. кута "g"
v = COS (rn) 'Розрахунок внутрішньої функції
y = LOG (v) 'Розрахунок зовн функціонально
PSET (x, y), 15 'Зображення точки кривої
NEXT g 'Наступний
RETURN 'Повернення в основну програму
'Програма побудови графіка складної функції
'Y = sqr (arcctg x ^ 2)
'
CLS 'Очистити екран
SCREEN 12 'Встановити графічний режим
WIDTH 80, 60 'Завдання поля виведення
pi = 3.14 'Значення pi
'
'Текстове оформлення графіка
LOCATE 7, 62: PRINT "-----------"
LOCATE 8, 59: PRINT "| / 2 "
LOCATE 9, 45: PRINT "функції: Y = | / arcctg X"
LOCATE 12, 70: PRINT "2"
LOCATE 13, 42: PRINT "Внутрішня функція 2: w = x"
LOCATE 15, 42
PRINT "Внутрішня функція 1: v = arccos w"
LOCATE 17, 70: PRINT "---"
LOCATE 18, 42: PRINT "Зовнішня функція: y = | / v"
LOCATE 21, 45
PRINT "Допоміжні графіки внутрен-"
LOCATE 23, 42
PRINT "них функцій зображені точками."
LOCATE 25, 45
PRINT "Внутрішня функція 2 - парабола,"
LOCATE 27, 42
PRINT "значення якої використовуються в"
LOCATE 29, 42
PRINT "як аргумент для внутрішньої"
LOCATE 31, 42: PRINT "функції 1 - v = arccos w."
LOCATE 33, 45: PRINT "Значення внутрішньої функції 1"
LOCATE 35, 42
PRINT "використовуються в якості аргументу"
LOCATE 37, 42: PRINT "вихідної функції."
LOCATE 39, 45
PRINT "Функція парна, неперіодичних,"
LOCATE 41, 6: PRINT "розташована вище осі абсцис."
LOCATE 43, 9
PRINT "Область існування функції - відкритий";
PRINT "інтервал"
LOCATE 43, 61: PRINT "-oo
LOCATE 53, 52: PRINT "| / 2 "
LOCATE 54, 17
PRINT "Рис.2. Графік складної функції Y = | / arccos X "
LOCATE 43, 10
LOCATE 27, 6: PRINT "pi"
LOCATE 28, 5: PRINT "---"
LOCATE 29, 6: PRINT "2"
LOCATE 21, 37: PRINT "4"
LOCATE 24, 37: PRINT "3"
LOCATE 27, 37: PRINT "2"
LOCATE 30, 37: PRINT "1"
LOCATE 33, 37: PRINT "0"
'
LOCATE 38, 10: PRINT "-4"
LOCATE 38, 16: PRINT "-2"
LOCATE 38, 22: PRINT "0"
LOCATE 38, 25: PRINT "1"
LOCATE 38, 28: PRINT "2"
LOCATE 38, 31: PRINT "3"
'
'Організація графічного вікна
VIEW (60, 60) - (280, 280), 8, 8
'Визначення системи координат
WINDOW (-5, 9) - (5, -1)
'Побудова координатної сітки'
FOR i = -1 TO 9 STEP .5
LINE (-5, i) - (5, i), 0 'Горизонтальні лінії
NEXT i
'
FOR i = -5 TO 5 STEP .5
LINE (i, -1) - (i, 9), 0 'Вертикальні лінії
NEXT i
'Побудова осей координат
LINE (-5, 0) - (5, 0), 7 'Ось абсцис
LINE (0, -1) - (0, 9), 7 'Вісь ординат
'
'Побудова графіка внутрішньої функції 2
FOR x = -3 TO 3 STEP .1 'Цикл побудови графіка
w = x * x 'Обчислення функції
PSET (x, w), 15 'Побудова точок кривої
NEXT x 'Наступний
'Побудова графіка внутрішньої функції 1
FOR x = -5 TO 5 STEP .1
w = x * x 'Обчислення внутрішньої функції 2
v = pi / 2 - ATN (w) 'Обчислення внутрішньої функції 1
PSET (x, v), 15 'Побудова точок кривої
NEXT x
'Побудова графіка зовнішньої функції
FOR x = -5 TO 5 STEP .1
w = x * x 'Обчислення внутрішньої функції 2
v = pi / 2 - ATN (w) 'Обчислення внутрішньої функції 1
y = SQR (v) 'Обчислення зовнішньої функції
CIRCLE (x, y). 03 'Побудова кіл
NEXT x 'Наступний
DO 'Очікування натискання будь-якої клавіші для виходу
LOOPWHILEINKEY $ = "" 'на повідомлення QBASIC