Властивості опуклих множин

Опукле безліч - підмножина евклідового простору містить відрізок, що з'єднує будь-які які дві точки цієї множини.

Іншими словами, безліч називається опуклою, якщо:

Тобто, якщо безліч X разом з будь-якими двома точками, які належать цій множині, містить відрізок, їх з'єднує:

У просторі опуклими множинами будуть пряма, променя, відрізок, інтервал, одноточковий безліч.

У просторі опуклим буде сам простір, будь-яке його лінійний підпростір, куля, відрізок, одноточковий безліч. Також, опуклими будуть такі множини:

пряма. що проходить через точку x 0 в напрямку вектора h:

;

промінь. виходить з точки x 0 в напрямку вектора h:

;

гиперплоскости H p? з нормаллю p:

;

півпростору на які гиперплоскости розділяє простір:

Всі перераховані безлічі (крім кулі) є окремим випадком опуклою безлічі поліедри.

Властивості опуклих множин

Перетин опуклих множин є опуклим.
Лінійна комбінація точок опуклою безлічі опукла.
Опукла безліч містить будь-яку опуклу комбінацію своїх точок.
Будь-яку точку n мірного евклідового простору з опуклої оболонки множини можна уявити як опуклу комбінацію не більше n +1 точок цієї множини

Розглянемо n - мірне евклідів простір і нехай # 61485; точка в цьому просторі.

Розглянемо дві точки і. належать .Множество точок. які можуть бути представлені у вигляді

(В координатах це записується так:

називається опуклою комбінаціейточек і

відрізком. з'єднує точки і. Самі точки і називаються кінцями відрізка. У випадках n = 2 і n = 3 це # 61485; відрізок в звичайному розумінні цього слова на площині або в просторі (див. рис. 12). Зауважимо, що при # 61548; = 0. а при # 61548; = 1. тобто при # 61548; = 0 і # 61548; = 1 виходять кінці відрізка.

де все і називається опуклою комбінацією точок.

Нехай є деяка область у просторі (іншими словами,

G є деякий безліч точок з

Визначення. Безліч (область) називається опуклим. якщо з того, що і слід, що для # 61548; # 61646; [0,1]. Іншими словами, G # 61485; опукле безліч, якщо воно, разом з будь-якими двома своїми точками, містить в собі відрізок, що з'єднує ці точки.

На цих малюнках "а" і "б" - опуклі множини, а "в" не є опуклим безліччю, так як в ньому є така пара точок, що з'єднує їх відрізок не весь належить цій безлічі.

Теорема 1. Нехай G # 61485; опукле безліч. Тоді будь-яка опукла комбінація точок, що належать цій множині, також належить цій безлічі.

# 61485; точки, що належать безлічі G.

Доведемо теорему методом математичної індукції. При k = 2 теорема вірна, так як вона просто переходить в визначення опуклого безлічі.

Нехай теорема вірна для деякого k. Візьмемо точку і розглянемо опуклу комбінацію