Властивості квадратних коренів

До сих пір ми здійснювали над числами п'ять арифметичних операцій: додавання, віднімання, множення. розподіл і зведення в ступінь, причому при обчисленнях активно використовували різні властивості цих операцій, наприклад а + b = b + а, а n -b n = (аb) n і т.д.

В цьому розділі введена нова операція - витяг квадратного кореня з невід'ємного числа. Щоб успішно її використовувати, потрібно познайомитися з властивостями цієї операції, що ми і зробимо в цьому параграфі.

Доведення. Введемо наступні позначення:
Нам треба довести, що для невід'ємних чисел х, у, z виконується рівність х = yz.

Отже, х 2 = ab, у 2 = а, z 2 = b. Тоді х 2 = y 2 z 2. т. Е. Х 2 = (yz) 2.

Якщо квадрати двох невід'ємних чисел рівні, то і самі числа рівні, отже, з рівності х 2 = (yz) 2 слід, що х = yz, а це й потрібно було довести.

Наведемо коротку запис доведення теореми:

Зауваження 1. Теорема залишається справедливою і для випадку, коли подкоренное вираз являє собою твір більш ніж двох нейтрально множників.

Зауваження 2.Теория 1 можна оформити, використовуючи конструкцію «якщо. то »(як це прийнято для теорем в математиці). Наведемо відповідне формулювання: якщо а і b - невід'ємні числа, то справедлива рівність.

Наступну теорему ми саме так і оформимо.

(Коротка формулювання, яку зручніше використовувати на практиці: корінь з дробу дорівнює дробу від коренів або корінь з приватного дорівнює приватному від коренів.)

Приклад 1. Обчислити.
Рішення. Скориставшись першим властивістю квадратних коренів (теорема 1), отримуємо

Зауваження 3. Звичайно, цей приклад можна вирішити по-іншому, особливо якщо у вас під рукою мікрокалькулятор: перемножити числа 36, 64, 9, а потім витягти квадратний корінь з отриманого твори. Однак, погодьтеся, запропоноване вище рішення виглядає більш культурно.

Зауваження 4. При першому способі ми проводили обчислення «в лоб». Другий спосіб витонченіше:
ми застосували формулу а 2 - b 2 = (а - b) (а + b) і скористалися властивістю квадратних коренів.

Зауваження 5. Деякі «гарячі голови» пропонують іноді таке «рішення» прикладу 3:

Приклад 4. Обчислити: а)
Рішення. Будь-яка формула в алгебрі використовується не тільки «справа наліво», а й «зліва направо». Так, перша властивість квадратних коренів означає, що в разі потреби можна представити у вигляді. і назад, що можна замінити виразом Те ж відноситься і до другого властивості квадратних коренів. З огляду на це, вирішимо запропонований приклад.

Завершуючи параграф, зазначимо ще одне досить просте і в той же час важлива властивість:
якщо a> 0 і n - натуральне число. то

Приклад 5. Обчислити. не використовуючи таблицю квадратів чисел і мікрокалькулятор.

Рішення. Розкладемо підкореневе число на прості множники:

Книги, підручники математики скачати. конспект на допомогу вчителю та учням, вчитися онлайн

Якщо у вас є виправлення або пропозиції до даного уроку, напишіть нам.

Якщо ви хочете побачити інші коригування та побажання до уроків, дивіться тут - Освітній форум.