Власні значення і власні функції операторів

Власні значення, власні функції

Фізичний сенс мають ті рішення рівняння Шредінгера:

які задовольняють природним (стандартним) умовам. Згідно з ними хвильова функція повинна бути кінцевою, однозначною, безперервної і гладкою у всьому просторі, навіть в точках розриву потенційної енергії. Рішення, які задовольняють цим вимогам, можливі не при будь-яких значеннях $ E $, а тільки при деяких, які позначимо: $ E_1, E_2, \ dots, \ E_n. $

Значення енергії ($ E_1, E_2, \ dots, \ E_n. $), При яких рівняння (1) має необхідні рішення, називають власними значеннями. При цьому функції $ \ Psi_1, \ \ Psi_2, \ \ dots, \ \ Psi_n $, які є рішеннями рівняння (1) при $ E = E_1, E = E_2, \ dots, E = \ E_n $ називають власними функціями, які належать власним значенням. У цьому полягає сутність загального принципу квантування.

Власні значення енергії $ E $ приймають за можливі значення енергії у відповідних стаціонарних станах. Дані значення можуть бути дискретними або безперервними, при цьому виникає дискретний або безперервний енергетичний спектр.

Власні значення і власні функції операторів

Розглянемо рівняння виду:

де $ \ hat $ - лінійний оператор, $ a $ - число, $ \ Psi $ - функція. В даному випадку дія оператора є множення функцій на число. Такі функції називають власними функціями розглянутого оператора $ \ hat. $ Рішення рівняння (2) існують тільки для спеціальних значень $ a $, які називають власними значеннями оператора $ \ hat $. Рівняння (2) при цьому записують як:

де $ a_n $ - власні значення, $ \ Psi_n $ - власні функції, відповідні власним значенням. Кожна з цих функцій передбачається нормованої так, що:

Отже, значення, які може приймати ця фізична величина в квантовій механіці, називають власними значеннями. Сукупність власних значень - спектр власних значень даної величини.

Якщо система знаходиться в якомусь стані, яке характеризує хвильова функція $ \ Psi $, то проведення вимірювання деякої величини $ a $, що відноситься до досліджуваної системі, дасть один зі своїх значень $ a_n. $

Власні значення всіх операторів фізичних величин приймають виключно дійсні значення.

Сукупність власних функцій становить повну систему, це означає, що будь-який стан системи $ \ Psi $ представимо у вигляді єдиного і однозначного розкладання в ряд по власних функціях:

де $ ^ 2 $ - ймовірність того, що при вимірюванні фізичної величини, яка відповідає оператору $ \ hat $ відповідатиме вимір $ A_n $ для хвильової функції $ \ Psi_n. $

Середнє значення фізичної величини

Середнє значення будь-якого фізичного величини ($ \ left \ langle A \ right \ rangle $) в квантовій механіці визначається з імовірнісного сенсу хвильової функції:

Аналогів такого усереднення в класичній фізиці немає. У ній часто проводять усереднення за часом для деякої величини. Для великої кількості частинок проводять усереднення по ансамблю, як наприклад, обчислюють середню швидкість руху молекул в речовині. У розглянутому нами випадку усереднення проводиться по квантовому станом мікрооб'єкту в фіксований момент часу. Провести подібне усереднення емпірично досить важко.

Середнє значення по квантовому станом величини координати частинки можна визначити як:

Дисперсія фізичної величини

Подібно теорії ймовірності в квантовій фізиці вводять дисперсію середнього значення координати. Вона визначає розкид отриманих при вимірюванні величин щодо середнього значення досліджуваної координати. Дисперсію при цьому визначають як:

де $ \ left \ langle x ^ 2 \ right \ rangle = \ int \ limits_V, t \ right) x ^ 2 \ Psi \ left (\ overrightarrow, t \ right) dV> $ середнє значення квадрата координати частинки.

Аналогічне вираз можна використовувати для дисперсії величини імпульсу:

де квадрат вредней величини імпульсу дорівнює:

Зробивши узагальнення, можна записати, що дисперсія деякої величини $ A $, яка визначає розкид результатів вимірювань по відношенню до середнього, можна знайти як:

Відзначимо, що дисперсія величини $ A $ у власному стані дорівнює нулю, що означає фізична величина, має певне значення, яке точно визначено і дорівнює власному значенню оператора $ \ hat. $

Завдання: Використовуючи рівняння $ \ hat \ Psi = A \ Psi, $ знайдіть $ \ Psi $ -функцію стану, в якому проекція імпульсу на вісь $ X $ має певну величину $ p_x $.

Використовуємо вираз для оператора імпульсу:

підставимо його в рівняння:

замість оператора $ \ hat $, маємо:

Рівняння (1.3) задовольняє функція:

Ця функція задовольняє природним умовам, тобто шукана функція знайдена.