Власні функції і власні значення операторів

МАТЕМАТИЧНИЙ АПАРАТ квантової механіки

У квантовій механіці кожної динамічної змінної (координаті, імпульсу, енергії і т.д.) ставиться у відповідність лінійний самосопряженних оператор. Оператором зв. правило або закон, згідно з яким функції. з деякого класу функцій, ставиться у відповідність інша функція # 966 ;.

Оператори позначаються символом ^. наприклад,. . і т.д. Кажуть, що оператор діє на функцію f або оператор переводить функцію

Діючи оператором на функцію, отримаємо:

Оператор визначено на деякому класі функцій. Оператор вважається заданим, якщо вказано не тільки правило, за допомогою якого він перетворює одну функцію в іншу, але і то безліч функцій, на які діє цей оператор. Наприклад, оператор диференціювання визначено на класі диференційовних функцій.

Сума або різниця операторів означає

У загальному випадку . але якщо послідовність дії операторів не має значення, тобто . то кажуть, що ці оператори комутують або ці оператори комутативні. Якщо оператори не комутативні. Крім комутативний і некомутативних операторів існують антикоммутативність оператори:.

Твір 2-х однакових операторів:. n раз. .

У квантовій механіці велику роль відіграють лінійні самосопряженних (ермітовим) оператори. Властивість лінійності означає, що

Тут і - постійні

і функції, на яких визначено оператор.

Умова лінійності операторів можна записати так:

Оператори можуть мати векторний характер. У квантовій механіці часто зустрічається оператор Набла:

Твір 2-х векторних операторів будується як скалярний добуток векторів:

Оператор. для якого виконується рівність, наз. самосопряженних або ермітовим:

Від функцій і потрібно, щоб оператор був визначений на них і інтеграли, що входять в цей вираз, існували.

Знак * означає комплексне сполучення. Наприклад, для вираження

Для отримання комплексної пов'язаності числа, що містить уявну одиницю, потрібно замінити на -:. Речовий оператор при комплексному сполученні залишається незмінним.

ВЛАСНІ ФУНКЦІЇ І ВЛАСНІ ЗНАЧЕННЯ ОПЕРАТОРІВ

Коли в результаті дії оператора на функцію, вона не змінюється або змінюється лише на деякий множник, наприклад,. то кажуть, що - це власне значення оператора. а функція - власна функція оператора.

Умова, при якому оператор залишає функцію f незмінною, з точністю до постійного множника, можна записати у вигляді: (1).

Тут - постійна, що залежить від виду оператора і функції. Очевидно, що не всяка функція f буде задовольняти умові (1) і не при будь-яких значеннях. Значення. при яких рівняння (1) має відмінні від нуля рішення, називаються власними значеннями оператора. Набір власних значень називається спектром власних значень оператора. Спектр може бути безперервним і дискретним. Він є безперервним, якщо рівняння (1) має рішення при будь-яких значеннях в деякому проміжку. Спектр власних значень може бути змішаним, тобто складатися з безперервних і дискретних значень. Кожному своїм значенням оператора відповідає власна функція. В цьому випадку, говорять, що власна функція належить своїм значенням. Якщо кожному власному значенню оператора належить кілька різних функцій. то кажуть, що цей спектр -кратноє виродилися. Розглянемо кілька важливих властивостей власних значень і власних функцій.

Теорема 1: Якщо оператор самосопряженних, то його власні значення речовинні.

Теорема 2: Власні функції і самосопряженних оператора. що належать різним власним значенням і, ортогональні між собою:

У разі дискретного спектра інтеграл має кінцеве значення.

Якщо замість функції виберемо функцію. то маємо. Заміна функції на таким способом називається нормуванням функції. а коефіцієнт - коефіцієнтом нормування.

Функція називається нормованою. Власні функції дискретного спектра завжди можна вважати нормованими.

Умова ортогональності і нормування разом можна записати в такий спосіб:

Можливі випадки, коли різні власні функції належать однаковим власним значенням, тобто має місце виродження. Вироджені функції взагалі говорять не ортогональні.

Теорема 3: Якщо кілька власних функцій належать однаковим власним значенням, то будь-яка лінійна комбінація з цих функцій є рішенням того ж операційного рівняння і з тим же власним значенням.

Теорема 4: Якщо 2 оператора і мають загальну повну систему власних функцій, вони комутують.

Теорема 5: Якщо 2 оператора і комутують, то вони мають загальні власні функції.

Теорема 6: Система власних функцій операторного рівняння повна. Це означає, що будь-яку функцію. певну в тій же області змінних і підпорядковану тим же граничним умовам, що і власні функції дискретного спектра оператора. можна представити у вигляді ряду з цих власних функцій: