Власні числа і власні вектори матриці

Як бачимо, результати ручного розрахунку практично збігаються зі значеннями, отриманими в програмі Mathcad.

Перевірте самостійно, що знайдені власні вектори взаємно ортогональні, тобто при i ≠ k дорівнює нулю скалярний твір.

Обчислити власні значення матриці в загальному випадку важче, ніж знайти при відомих власних значеннях відповідні власні вектори. У деяких окремих випадках власні значення обчислюються легко. Наприклад, якщо матриця діагональна або трикутна, то визначник дорівнює добутку діагональних елементів і тому власні значення рівні діагональним елементам. Неважко обчислити власні значення для трехдіагональной матриці, а також для майже трикутної матриці.

Для діагональної матриці своїм значенням # 955; i = aii відповідає одиничний власний вектор xi = (0, ..., 1, ..., 0) T. у якого i -я компонента дорівнює 1, а інші компоненти рівні 0.

Теорема 3.5. Власні значення симетричної матриці з дійсними елементами дійсні, а власні вектори, які відповідають різним власним значенням, взаємно ортогональні.

Теорема 3.6. якщо # 955; min і # 955; max - найменше та найбільше власні значення дійсної симетричною матриці A. то для будь-якого вектора x справедливо нерівність

Визначення 3.6. Дійсна симетрична матриця A називається позитивно певної, якщо для будь-якого вектора x ≠ 0 виконується умова

Теорема 3.7. Дійсна симетрична матриця A є позитивно певної тоді і тільки тоді, коли всі її власні значення позитивні.

Теорема 3.8 (критерій Сильвестра). Для того щоб дійсна симетрична матриця A = [aij] була позитивно певної необхідно і достатньо, щоб всі головні діагональні мінори її визначника були позитивні:

Теорема 3.9 (теорема Перона). Якщо всі елементи квадратної матриці позитивні, то її найбільше по модулю власне значення позитивно і не є кратним, а відповідний власний вектор має позитивні координати.

Рассмотрімітераціонний метод визначення найбільшого по модулю власного значення і відповідного власного вектора матриці A. який запишемо у вигляді наступного алгоритму [7]:

Всі теми даного розділу:

Норми векторів і матриць
Наведемо визначення норм векторів і матриць [1]. Нехай заданий вектор x = (x1, x2, ..., xn) T. найбільш годину

Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Теоретичні умови існування і єдиності рішення систем лінійних рівнянь відомі - головний визначник не повинен дорівнювати нулю. Тоді рішення можна знайти за правилом Крамера

Метод Гаусса для вирішення систем лінійних рівнянь
Нехай потрібно вирішити систему n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими:

Алгоритм методу Гаусса з вибором головного елемента по стовпцях.
1. Для m = 1, 2, ..., n - 1 виконаємо перетворення: Знайдемо максимальний по абсолютній величині елемент в m-му стовпці. Нехай це буде елемент aim. ес

ітераційний метод
Запишемо систему рівнянь (3.9) у вигляді Ax = b, (3.21) де A - матриця коефіцієнтів, а b

метод Зейделя
Нехай потрібно вирішити систему рівнянь (3.1): (3.25)

Похибка рішення і обумовленість системи рівнянь
Розглянемо вплив похибки правій частині і властивостей матриці системи лінійних рівнянь на похибка рішення. Нехай права частина системи задана наближено, з похибкою # 951 ;: nbsp

Обчислення визначника і оберненої матриці
Обчислення визначника матриці є класичним прикладом завдань, для вирішення яких важливо знайти ефективні алгоритми. При безпосередньому розкритті визначника квадратної матриці

Метод скалярних творів
Розглянемо метод скалярних творів [7] для визначення найбільшого власного значення і відповідного власного вектора дійсної матриці A. Теорема 3.10.

Алгоритм методу скалярних творів.
1. Задамо початкові наближення: x0 - до власного вектору матриці A і y0 = x0 - до

Завдання для самостійного рішення.
Вирішити систему лінійних рівнянь Ax = b в електронних таблицях методом Гаусса. Обчислити визначник матриці A методом Гаусса. знайти зворотному