Визначники та системи лінійних рівнянь
1.1. Системи двох лінійних рівнянь і визначники другого порядку
Розглянемо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими:
коефіцієнти
Головним визначником системи називається таблиця, складена з коефіцієнтів при невідомих і укладена в прямі дужки:
Допоміжним визначником називають визначник, отриманий з головного визначника заміною одного зі стовпців на стовпець вільних членів:
Головна діагональ визначника - це діагональ, спрямована з лівого верхнього кута в правий нижній кут. Друга діагональ називаетсяпобочной.
Визначник другого порядку дорівнює різниці між твором елементів головної діагоналі і твором елементів побічної діагоналі:
Правило Крамера: Рішення системи знаходять шляхом ділення допоміжних визначників на головний визначник системи
Зауваження 1. Використання правила Крамера можливо, якщо визначник системи
Зауваження 2. Формули Крамера узагальнюються і на системи більшого порядку.
Приклад 1. Вирішити систему:
Висновок: Система вирішена вірно:.
1.2. Системи трьох лінійних рівнянь і визначники третього порядку
Розглянемо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:
Визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих, називається визначником системи або головним визначником:
якщо
де визначники
Приклад 2. Вирішити систему
Сформуємо головний і допоміжні визначники:
Залишилося розглянути правила обчислення визначників третього порядку. Їх три: правило дописування стовпців, правило Саррюс, правило розкладання.
а) Правило дописування перших двох стовпців до основного определителю:
.
Обчислення проводяться наступним чином: зі своїм знаком йдуть твори елементів головної діагоналі і по паралелях до неї, з протилежним знаком беруть твори елементів побічної діагоналі і по паралелях до неї.
Зі своїм знаком беруть твори елементів головної діагоналі і по паралелях до неї, причому відсутній третій елемент беруть з протилежного кутка. З зворотним знаком беруть твори елементів побічної діагоналі і по паралелях до неї, третій елемент беруть з протилежного кутка.
в) Правило розкладання за елементами рядка або стовпця:
Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх відповідні алгебраїчні доповнення.
Алгебраїчне доповнення - це визначник нижчого порядку, що отримується шляхом викреслювання відповідного рядка і стовпця і враховує знак
Обчислимо за цим правилом допоміжні визначники
Обчисливши всі визначники, за правилом Крамера знайдемо змінні:
Висновок: система вирішена вірно:.
Основні властивості визначників
Необхідно пам'ятати, що визначник - це число. знайдене за деякими правилами. Його обчислення може бути спрощено, якщо користуватися основними властивостями, справедливими для визначників будь-якого порядку.
Властивість 1. Значення визначника не зміниться від заміни всіх його рядків відповідними по номеру стовпцями і навпаки.
Операція заміни рядків стовпцями називається Транспонированием. З цієї властивості випливає, що будь-яке твердження, справедливе для рядків визначника, буде справедливим і для його стовпців.
Властивість 2. Якщо у визначнику поміняти місцями два рядки (стовпці), то знак визначника зміниться на протилежний.
Властивість 3. Якщо всі елементи будь-якого рядка визначника дорівнюють 0, то визначник дорівнює 0.
Властивість 4. Якщо елементи рядка визначника помножити (поділити) на яке-небудь число
Якщо елементи будь-якого рядка, мають загальний множник, то його можна винести за знак визначника.
Властивість 5. Якщо визначник має дві однакові або пропорційні рядки, то такий визначник дорівнює 0.
Властивість 6. Якщо елементи будь-якого рядка визначника є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників.
Властивість 7. Значення визначника не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка додати елементи іншого рядка, помноженої на одне і те ж число.
У цьому визначнику спочатку до другої рядку додали третю, помножену на 2, потім з третього стовпчика відняли другий, після чого другий рядок додали до першої і третьої, в результаті отримали багато нулів і спростили підрахунок.
Елементарними перетвореннями визначника називаються спрощення його завдяки використанню зазначених властивостей.
Приклад 1. Обчислити визначник
Безпосередній підрахунок по одному з розглянутих вище правил призводить до громіздким обчисленням. Тому доцільно скористатися властивостями:
а) з І рядки віднімемо другу, помножену на 2;
б) з ІІ рядки віднімемо третю, помножену на 3.
В результаті отримуємо:
Розкладемо цей визначник за елементами першого стовпчика, що містить лише один ненульовий елемент.
.
Системи і визначники вищих порядків
систему
Для цього випадку також можна скласти головний і допоміжні визначники, а невідомі визначати за правилом Крамера. Проблема полягає в тому, що визначники більш високого порядку можуть бути обчислені тільки шляхом пониження порядку і зведення їх до определителям третього порядку. Це може бути здійснено методом прямого розкладання за елементами рядків або стовпців, а також за допомогою попередніх елементарних перетворень і подальшого розкладання.
Приклад 4. Обчислити визначник четвертого порядку
Рішення знайдемо двома способами:
а) шляхом прямого розкладання за елементами першого рядка:
б) шляхом попередніх перетворень і подальшого розкладання
