Визначник 4 порядку
Визначники четвертого і старших порядків можливо обчислювати за спрощеними схемами, які полягають в розкладанні за елементами рядків або стовпців або зведенні до трикутного вигляду. Обидва методи для наочності будуть розглянуті на матрицях 4-го порядку.
Перший приклад ми розглянемо з докладними поясненнями всіх проміжних дій.
Приклад 1. Обчислити визначник методом розкладання.
Рішення. Для спрощення обчислень розкладемо визначник четвертого порядку за елементами першого рядка (містить нульовий елемент). Вони утворюються множенням елементів на відповідні їм доповнення (утворюються викреслювання рядків і стовпців на перетині елемента, для якого обчислюються - виділено червоним)
В результаті обчислення зведуться до відшукання трьох визначників третього порядку, які знаходимо за правилом трикутників
Результат легко перевірити за допомогою матричного калькулятора YukhymCALC. Для цього в калькуляторі вибираємо пункт Матриці-Визначник матриці, розмір матриці встановлюємо 4 * 4.
Далі вводимо ж матрицю і здійснюємо обчислення. Результатом розрахунків буде наступний висновок даних
Результати збігаються, отже обчислення проведені вірно.
Приклад 2. Обчислити визначник матриці четвертого порядку.
Як і в попередньому завданні здійснимо обчислення методом розкладання. Для цього виберемо елементи першого стовпчика. Спрощено визначник можна подати через суму чотирьох детермінант третього порядку у вигляді
Далі переходимо до відшукання визначників за правилом трикутників
Обчислення не надто складні, головне не наплутати зі знаками і трикутниками. Знайдені величини підставляємо в головний визначник і підсумовуємо
Результат перевіряємо матричних калькулятором YukhymCALC. Правильність розрахунків підтверджується наступним малюнком
Метод зведення визначника до трикутного вигляду
Даний метод дозволяє ряд визначників обчислити досить швидкий спосіб. Суть його полягає в об'єднанні визначника до трикутного вигляду, при цьому слід враховувати всі множники на які збільшуємо або зменшуємо рядки і обліку при кінцевих розрахунках. З даного визначення Ви нічого для себе не зрозумієте, тому краще все показати на конкретних прикладах.
Приклад 3. Знайти визначник матриці зведенням до трикутного вигляду
Спочатку здійснюємо математичні маніпуляції, щоб отримати всі нульові елементи крім першого в першому стовпці. Для цього від другого рядка віднімаємо перший, помножений на два. В результаті отримаємо
Далі є два варіанти: від третього рядка відняти перший помножений на три, або від третьої відняти суму перших двох рядків. Останній варіант дозволить отримати відразу два нуля в рядку, його і вибираємо
Далі доцільніше від четвертої відняти подвоєну другий рядок. В результаті елементарних перетворень визначник набуде вигляду
Залишилося перетворити в нуль один елемент в третьому стовпці. Для цього від четвертого рядка віднімаємо подвоєну третю в попередньо записаному визначнику
По властивості, визначник трикутної матриці дорівнює добутку діагональних елементів.
За бажанням можна перевірити результат матричних калькулятором.
У цьому прикладі ніяких умножений рядків, в яких занулівалі елементи ми не виконували, тому повністю розкрити метод на цьому прикладі не вийшло.
Розглянемо більш складний.
Знайти визначник матриці 4-го порядку
Елементарними перетвореннями зводимо визначник до трикутного вигляду. Для цього від кожного рядка віднімаємо перший. В результаті перетворень отримаємо наступний детермінант
Для зручності обчислень, міняємо третю сходинку з другим місцями ..
По властивості визначників будь-яка заміна рядків місцями веде до зміни знака визначника. Враховуємо це в деякому множителе k = -1.
Від третього рядка віднімаємо другий, помножений на мінус три. Після спрощень отримаємо
Перетворюємо в нуль останній елемент у другому стовпці, для цього віднімаємо другий рядок помножений на 2.
Результат буде таким
Від подвоєного четвертого рядка віднімаємо третій. По властивості, множення рядка на постійну а веде до зміни визначника в а раз. Дана зміна фіксуємо в множителе k = -1 * 2 = -2.
Остаточне значення визначника буде дорівнює добутку діагональних елементів розділених (або нормованих) на множник k. який відповідає за зміну детермінанта при елементарних перетвореннях. виконуємо обчислення
Перевірка матричних калькулятором підтверджує правильність здійснених обчислень.
Метод розкладання визначника за елементами рядків або стовпців досить швидким при обчисленні визначників великих розмірів. Метод зведення до трикутного виду ефективний, якщо елементарні перетворення легко простежити і не призводять до великих творів. В інших випадках потрібно користуватися комбінацією цих методів, останнім утворювати якомога більше нульових елементів, а методом розкладання по рядках або стовпцях зменшувати кількість виконаних операцій. Це дозволить без проблем обчислювати визначники третього, четвертого і навіть п'ятого порядку.