математичні софізми

Нагадаємо, що софізмом називається навмисне помилкове умовивід, яке має видимість правильного.

Логічні софізми - софізми, помилки яких полягають в неправильних міркуваннях.

«Напівпорожній теж, що і полуполний»

Напівпорожнє є те саме, що і полуполний. Якщо рівні половини, значить, рівні й цілі. Отже, пусте є те саме, що і повне

Помилка: напівпорожнє не є половиною чого або порожнього, а є чимось або наполовину наповненим.

Розглянемо такий софізм з назвою «ВОР». Він формулює-ється в міркуванні, яке покликав-но переконати нас, що злодій робить бла-гое справу. На те ж він і софізм, щоб за допомогою своєї софісти-чеський логіки доводити те, що є недоказовим.

«Злодій набуває лише хоро-шиї.

Купувати, а так само і робити добру - це благо.

Значить, злодій робить благо ».

Вада софізму помітний з першо-го погляду: купувати хороше і робити добру - це не тільки не рівнозначні поняття, але навіть і не синоніми.

Ось ще один софізм «Вчені-КІ», в якому з вірних посилок виходить неправдивий висновок:

«Все уважні учні хоро-шо засвоюють уроки.

Деякі учні уважні.

Всі учні добре засвоюють уроки ».

Математичний софізм - дивовижне твердження,

в доказі якого криються непомітні,

а часом і досить тонкі помилки.

Крім логічних софізмів широко відомі також і матема-тичні. Математичні софізми сприяли і сприяють підвищенню строгості в математичних міркуваннях, сприяли і сприяють більш глибокому з'ясуванню понять і методів математики. На наш погляд їх роль в розвитку математики подібна до тієї роллю, яку продовжують грати до сьогоднішнього дня ненавмисні помилки в математичних доказах, які допускаються навіть видатними математиками.

Розглянувши різний матеріал по темі дослідження, ми дізналися, що софістика грунтувалася на поняттях логіки, її законах, які грунтувалися на помилкових припущеннях. А от припустимо, софізм заснований на навмисному помилковому умовиводі, але якщо дивитися його поверхово, то воно здається істинним.
В ході роботи ми дізналися, що Джордж Буль теж грунтувався на понятті логіки у своїй алгебри. Він оперував поняттями помилково і істинно.
Але ж сучасна обчислювальна техніка точно так же оперує поняттями помилково і істинно. Кібернетика як наука, цим і займається.
Виходить, що вчення софістів ми використовуємо в сучасному житті, особливо цифрову техніку, ЕОМ.

Виділяють три види математичних софізмів:

Зазвичай в математичних софизмах приховано виконуються зап-рещенние дії або не враховуючи-ються умови застосовності пра-вил, формул або теорем. Вельми ін-тересно знайти помилку в Розмірковуючи-ванні, яка призводить до абсурдно-му висновку, причому це не завжди лег-ко і просто зробити.

а) Арифметичні софізми

Арифметичні софізми - це числові вирази, що мають неточність або помилку, не помітну з першого погляду.

Прикладами арифметичних софизмов можуть бути такі:

1) «Двічі два - п'ять».

Нехай вихідне співвідношення - очевидне рівність:

Винесемо за дужки загальний множник кожної честі (*) рівності, і ми отримаємо:

Тоді розкладемо число 4 на твір 2 · 2.

Нарешті, знаючи, що 1: 1 = 1, ми зі співвідношення (**) встановлюємо: 2 · 2 = 5.

Помилка: помилка полягає в тому, що не можна було виносити множник за дужки в рівняння (**)

2) В той час коли наші мами і тата були дітьми, тобто в радянські часи,

існувала така грошова одиниця як рубль, яка дорівнювала 100 копійкам. Так ось один із софизмов говорить нам зворотне.

«Один рубль не дорівнює ста копійкам».

Відомо, що будь-які два нерівності можна множити почленно, не порушуючи при цьому рівності, тобто Якщо a = b, c = d, то ac = bd.

Застосуємо це положення до двох очевидних равенствам

Перемножая ці рівності почленно, отримаємо 10 р. = 100000 коп.

Нарешті, розділивши останнє рівність на 10 отримаємо, що 1 р. = 10 000 коп.

таким чином, один рубль не дорівнює ста копійкам.

Помилка: помилка, допущена в цьому софізм, полягає в порушенні правил дії з іменованими величинами: всі дії, що здійснюються над величинами, необхідно здійснювати також і над їх размерностями.

3) Доведемо, що 5 = 6.

Легко перевірити справедливий-с- рівності: 35 + 10 - 45 = 42+ 12-54.

Винісши спільний множник за дужки, його можна записати так:

5 • (7 + 2 9) = 6 • (7 + 2 - 9).

Як ми бачимо, твори рівні і другі множники теж рівні, значить, і перші множники повинні бути рівні, т. Е. 5 = 6.

Помилка: помилка в цих рас-судженнях полягає в тому, що ми зробили висновок про рівність перших множників у рівних произведе-ний за умови рівності друге множників, що не завжди вірно. Таке твердження справедливе лише тоді, коли ці рівні вто-які множники відмінні від нуля, і ми можемо обидві частини рівності розділити на це число. У разі ж нуля завжди а · 0 = b · 0 = 0 при будь-яких а і b, так що зовсім не орга-тельно, щоб а = b.

4) "Одиниця дорівнює двом"

Простим вирахуванням легко переконатися в справедливості рівності

Додавши до обох частин цієї рівності число. отримаємо нове рівність

в якому, як неважко помітити, права і ліва частини являють собою повні квадрати, т. е.

Отримуючи з правої і лівої частин попереднього рівності квадратний корінь, одержуємо рівність:

звідки випливає, що

б) Алгебраїчні софізми

Алгебраїчні софізми - навмисно приховані помилки в рівняннях і числових виразах.

1) Доведемо, що 4 = 5.

Візьмемо два числа а = 4 і b = 5, їх полусумму позначимо через с = (а + b) / 2.

Тоді а = 2с- b і 2с-а = b.

Перемноживши ці рівності по-членів, отримаємо:

а 2 - 2ас = b 2 - 2 b с.

Додавши до обох частин по з 2. отримаємо:

а 2 - 2 ас + з 2 = b 2 - 2 b з + з 2

або (а - с) 2 = (b - с) 2.

Значить, а-з = b-с, звідки а = 6, тобто 4 = 5.

Помилка: Якщо квадрати чисел рівні, то самі цифри не обязатель-но рівні, вони можуть бути і проти-воположнимі. Рівність а-з = b-с в даному випадку невірно, має бути а-з = b-с або а - з = з - b.

Загальний вигляд: "Все числа рівні між собою"

Візьмемо два довільних нерівних між собою числа а і b і запишемо для них очевидне тотожність:

а 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + а 2

Ліворуч і праворуч стоять повні квадрати, т. Е. Можемо записати

Отримуючи з обох частин останнього рівності квадратний корінь, одержимо:

звідки 2а = 2b або остаточно a = b.

2) Доведемо, що число 0 (нуль) більше будь-якого числа а.

Якщо число а негативне, то твердження очевидно.

Нехай а - як завгодно біль-ШОЕ позитивне число. Ясно, що а - 1 <а.

Помножимо обидві частини цієї нерівності почленно на - а, отримаємо:

Додавши до обох частин напів-ченного нерівності по а 2. отримаємо: - а 2 + а + а 2 <- а 2 + а 2. то есть а <0.

Отже, будь-який, навіть як завгодно велике позитивними-ве число а менше 0.

Помилка: При множенні обох частин нерівності на -а, тобто на негативне число, знак нерівності необхідно поміняти на протилежний.

3) Доведемо, що будь-яке число рав-но 0.

Розглянемо суму: а - а + а - а + а - а + а -.

Цю суму можна уявити двояко:

Ліві частини цих виразів рівні, значить, рівні й праві, і, отже, а - 0.

Помилка: В першому висловлю-ванні розглядається парне кількістю-ство доданків, а в другому - Ні-парне, тому результати відрізняючи-ються на а.

в) Геометричні софізми

Геометричні софізми засновані на помилках пов'язаних з геометричними фігурами і діями над ними.

1) «Хорда, що не проходить через центр кола, дорівнює діаметру».

Нехай в окружності проведено діаметр АВ. Через точку В проведемо будь-яку хорду ВЕ, що не проходить через центр, потім через середину цієї хорди D і точку А проведемо нову хорду АС. Нарешті, точки Е і С з'єднаємо відрізком прямої.

Розглянемо # 8710; АВD і # 8710; ЕDС. У цих трикутниках: ВD = DЕ (з побудови), <А=

= <Е (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Кроме того, <ВDА=

= <ЕDC (как вертикальные). Если же сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Значит, ∆ ВDА= ∆ЕDC. а в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Поэтому, АВ=ЕС.

Помилка. помилка полягає в неправильному застосуванні теореми про рівність трикутників. По теоремі про ознаку рівності трикутника: якщо сторона і два прилеглих до неї кути одного трикутника відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні. А в нашому випадку, <А не прилежит к стороне ВD .

2) «Сірник вдвічі довше телеграфного стовпа».

Нехай а довжина сірники і b - довжина стовпа. Різниця між b і a обозначімчерез c.

Маємо b - a = c, b = a + c.

Перемножимо два цих рівності по частинах, знаходимо: b 2 - ab = ca + c 2.

Віднімемо з обох частин bc. Отримаємо: b 2 - ab - bc = ca + c 2 - bc. або

b (b - a - c) = - c (b - a - c), звідки

b = - c. але c = b - a. тому b = a - b, або a = 2b.

Помилка: помилка полягає в тому, що вравенстве виразів b (b-a-c) = - c (b-a-c)

проводиться розподіл на 0.

Це лише кілька з множе-ства відомих ще з давніх-давен і дійшли до нас логічних і ма-тематичних софизмов. Софізми сприяли підвищенню строгості математичних міркувань і сприяли більш глибокому з'ясуванню понять і методів математики. Для тих, хто вивчає математику софізми корисні ще й тим, що їх розбір розвиває логічне мислення.

Виявити помилку в софізм - це значить усвідомити її, а усвідомлення помилки попереджає від повторення її в інших математичних міркуваннях.

Класифікація, розглянутих нами софизмов, по допущеним в них помилки і темах, при вивченні яких, на наш погляд їх можна використовувати представлена ​​нами в додатку.

Отже, софізм - це зображені тение людського розуму, за допомогою на-гою якого можна довести все, що завгодно. Втім, і спростувати можна теж все. Недарма вели-кий український вчений І. П. Павлов говорив, що «правильно зрозуміла помилка - це шлях до відкриття».

Спочатку може здатися, що існує мало софизмов, або що вони не використовуються в життя, тобто не приносять користі. Але це не так. Існує величезна безліч різних видів софізмів. І математичні софізми - усього лише невелика їх частина. За своє життя людина чує десятки софизмов, не вміючи відрізнити їх від правдивих тверджень, і навіть не знаючи, що взагалі означає слово софізм.

Зрозуміти софізм, тобто вирішити його, виходить не відразу. Спочатку, щоб вирішити деякі софізми, доводилося по кілька разів їх уважно перечитувати, відмовитися і вдивлятися, наприклад в софізм «Хорда, що не проходить через центр кола, дорівнює діаметру» нам довелося довго шукати помилку. Тепер, до кінця роботи над дослідженням помилки нам стали знаходитися швидше. Ми вважаємо, що добре розвинене логічне мислення може допомогти не тільки в рішенні задач, але і в звичайному житті. Взагалі, рішення софизмов - цікаве і пізнавальне заняття. Їм можна займатися як цілеспрямовано, так і у вільний час для власного задоволення, як наприклад рішення сканвордов або судоку.

Ось такі вони софізми і ось така вона - софістика. І в ній є своя логіка, може, це не логіка з великої літери, але хоча б своя софістична логіка. А це гідно того, щоб до цієї логіці придивитися, хоча вона і замішана на логічних помилках. Але ж логіка вивчає закони не тільки правильного, а й неправильного мислення. Бо не можна пізнати ис-тину, не пізнавши брехня, як не можна осягнути добро, не відаючи зла. У світі все так: світло є сусідами з тінню, життя - зі смертю, а ис-тину - з брехнею.

Ми прийшли до висновку, що математичні софізми розвивають спостережливість і вдумливість, привчають ретельно стежити за точністю формулювань, правильністю записів і креслень, за законністю виконуваних операцій. Ну, і, нарешті, розбір софізмів просто захоплюючий - це витончена гімнастика для розуму будь-яку людину.

Так як ми не сильні в створенні власних софизмов, то для дослідження в роботі ми скористалися софизмами з книги [3]