Визначення швидкості кулі крутильним маятником
ВИЗНАЧЕННЯ ШВИДКОСТІ КУЛІ
Мета роботи: визначити швидкість кулі за допомогою крутильних-балістичного маятника, познайомитися із застосуванням закону збереження моменту імпульсу.
Устаткування. крутільно-балістичний маятник з мішенню, пружинний пістолет, куля, секундомір.
Швидкість кулі можна визначити за допомогою крутильних-балістичного маятника. Це обумовлено тим, що після удару маятник повертається на кут, пропорційний швидкості кулі. Крутільно-балістичний маятник - це масивне в порівнянні з кулею тіло довільної форми, підвішене на пружних нитках.
Нехай горизонтально летить куля на відстані r від осі потрапляє в мішень маятника і застряє в ній (рис. 1). Після удару маятник і куля повертаються спільно, і це є ознакою непружного удару. Так як процес удару є короткочасним, то за час удару маятник не встигає повернутися і сили пружності незакрученних ниток підвісу відсутні. Діють лише порівняно великі внутрішні сили удару. Значить, система тел куля - маятник на час удару є замкнутою. Тому виконується закон збереження моменту імпульсу: в замкнутій системі тіл сума моментів імпульсів тіл постійна або сума моментів імпульсів тіл до взаємодії тіл дорівнює сумі моментів імпульсів тіл після взаємодії:.
Моментом імпульсу твердого тіла відносно осі називається псевдовектор, тобто вектор, спрямований по осі обертання, що дорівнює добутку моменту інерції тіла на вектор кутовий швидкості:. Моментом імпульсу матеріальної точки називають вектор, який дорівнює векторному добутку радіус-вектора точки r на вектор імпульсу. Напрямок вектора моменту імпульсу, як і кутової швидкості, визначається правилом свердлика. Якщо обертати буравчик разом з тілом, то вектор кутової швидкості збігається за напрямком з поступальним рухом свердлика.
П улю, розмір якої багато менше відстані від лінії польоту до осі обертання маятника r, можна вважати матеріальною точкою. Згідно із законом збереження моменту імпульсу момент імпульсу кулі до удару дорівнює моменту імпульсу маятника з застрягла кулею після удару. У проекції на вісь обертання рівняння матиме вигляд
Якщо знехтувати добавкою моменту інерції кулі mr 2 до моменту інерції маятника, то рівняння закону збереження моменту імпульсу буде мати більш простий вигляд: mVr = J0. Звідси отримаємо формулу для швидкості кулі
Кутову швидкість 0 маятника і момент інерції J можна визначити з рівняння коливань. Якщо маятник вивести від положення рівноваги і відпустити, то він під дією моменту пружних сил підвісу буде повертатися до стану рівноваги, але за інерцією пройде його і відхилиться в протилежну сторону. Потім процес повториться, тобто виникнуть обертальні коливання. Рівняння основного закону динаміки обертального руху має вигляд: твір моменту інерції маятника на кутовий прискорення дорівнює моменту пружних сил підвісу М = -k. :
Рішенням рівняння є функція, що перетворює його в тотожність. Це можуть бути функції косинуса або синуса:
де 0 - амплітуда коливань, тобто найбільший кут відхилення маятника; Т0 - період коливань, тобто час одного коливання. Якщо підставити функцію (4) в рівняння (3), то воно звернеться в тотожність за умови, якщо період коливань маятника буде дорівнює
З цієї формули момент інерції визначити поки неможливо, так як невідомий коефіцієнт пружності підвісу k. Щоб його виключити, одягнемо на штирі рамки два вантажу з масою mгр на відстані l від осі. Момент інерції маятника змінюється на величину, 2mгрl 2. Період коливань маятника теж зміниться і стане рівним
Вирішуючи рівняння (6) і (5), виключивши коефіцієнт k. отримаємо формулу для моменту інерції
Отримаємо формулу для розрахунку кутової швидкості маятника. Кутова швидкість, за визначенням, дорівнює першої похідної від кута повороту за часом. Диференціюючи рівняння (4), отримаємо. Звідси кутова швидкість маятника відразу після удару, при t = 0, може бути розрахована за формулою
Крутильний маятник являє собою рамку, підвішену до кронштейну на сталевих струнах. На рамці встановлена штанга з мішенню і противагою. Постріл кулею проводиться за допомогою пружинного пістолета. Кут відхилення штанги маятника визначається за шкалою по положенню прапорця на штанзі. Період коливань визначається за допомогою секундоміра, керованого фотоелементом.
1. Переконатися, що лінія польоту кулі проходить через мішень, рамка може коливатися, не зачіпаючи фотоелемент; в положенні рівноваги прапорець рамки знаходиться проти нуля шкали. При необхідності відрегулювати. Зняти додаткові вантажі.
2. Звести пружинний пістолет з кулею. Зробити постріл в мішень. Виміряти кут першого відхилення маятника за шкалою 0. Виміряти відстань від осі до точки удару кулі r. Досвід виробити не менше п'яти разів. Результати записати в табл.1.
3. Визначити масу кулі, масу вантажів, виміряти відстань від осі до середини вантажів l. Результати записати в табл. 2.
Включити установку в мережу 220 В.
4. Виміряти період коливань маятника без вантажів Т0. Для цього натиснути кнопку «Мережа» (на задній панелі секундоміра), відвести рамку маятника на невеликий кут до електромагніту, магніт притягне рамку. Натиснути кнопку «Пуск», магніт відпустить рамку. Розпочнеться рахунок часу і числа коливань. Щоб виміряти час десяти коливань t, слід після скоєння дев'ятого коливання натиснути кнопку «Стоп» секундоміра. Період дорівнює T0 = t / 10. Записати в табл. 2.
5. Виміряти період коливань Т1 рамки з вантажами. Для цього надіти на рамку додаткові вантажі. Натиснути кнопку «Скидання» для обнулення індикаторів і включення магніту. Відвести рамку до магніту, натиснути «Пуск», виміряти час десяти коливань. Результат записати в табл. 2.
Відстань до вантажу l. см
Період без вантажів Т0. з
Період з вантажами Т1. з
Момент інерції J, кг м 2
6. Провести розрахунки в системі СІ. Визначити момент інерції маятника за формулою (7). Визначити середнє значення кута повороту <0>. Розрахувати середнє значення амплітуди кутової швидкості <0> за формулою (8) за середнім значенням кута <α0>. Результати записати в табл. 1 і 2.
Визначити середнє значення швидкості
7. Оцінити випадкову похибку вимірювань швидкості кулі, вважаючи, що основний внесок вносить випадкова похибка вимірювання кута повороту, по формулі
1. Дайте визначення крутильного маятника. Виведіть і поясніть формулу для періоду коливань маятника.
2. Дайте визначення моменту імпульсу матеріальної точки, твердого тіла. Як визначити напрям моменту імпульсу тіла?
3. Сформулюйте закон збереження моменту імпульсу. Чому його можна застосувати для процесу удару кулі об мішень маятника?
4. Запишіть закон збереження моменту імпульсу для удару кулі об мішень маятника.
5. Зробіть висновок формули для розрахунку амплітуди кутової швидкості маятника.
6. Поясніть метод визначення моменту інерції маятника за допомогою додаткових вантажів.
ВИЗНАЧЕННЯ МОМЕНТУ ІНЕРЦІЇ ТЕЛ
Мета роботи. визначити за допомогою крутильного маятника залежність моменту інерції тіла від відстані до осі обертання, перевірити виконання теореми Штейнера.
Устаткування. крутильний маятник, секундомір, складовою циліндр.
ТЕОРЕТИЧНЕ ВСТУП
Момент інерції - це фізична величина, що є мірою інертності тіла при його обертальному русі. У цьому сенсі він подібний до масі, що є мірою інертності тіла при поступальному русі. Величина моменту інерції, за визначенням, дорівнює сумі творів мас частинок тіла на квадрати їх відстаней r до осі обертання:
У елічіна моменту інерції тіла залежить не тільки від маси тіла, а й від розташування частин тіла щодо осі обертання. Чим далі від осі знаходяться частини тіла, тим більше момент інерції.
Теоретичний розрахунок моменту інерції тіл спрощується при застосуванні теореми Штейнера. Отримаємо рівняння теореми. Нехай точка О - центр мас тіла, через яку проходить вісь О - О. а паралельно їй на деякій відстані а вісь С- С (рис. 1). Встановимо зв'язок між моментами інерції тіла щодо цих осей.
Уявімо вектор від осі С-С до деякого елемента маси mi як суму векторів (рис. 1). Підставивши в визначальну формулу моменту інерції (1) радіус вектор r і звівши суму в квадрат, отримаємо
Перший член цього рівняння J0 - момент інерції тіла відносно осі О - О. проходить через центр мас. У другому члені сума визначає положення центра мас тіла щодо осі О - О. і так як вісь проходить через центр мас, то ця сума дорівнює нулю. Третій член - це добуток суми мас частинок, тобто маси тіла на квадрат відстані між осями. Отже,
Це рівняння теореми Штейнера: момент інерції тіла відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції тіла щодо осі, що проходить через центр мас і паралельної даної осі, і добутку маси тіла на квадрат відстані між осями. У тих випадках, коли момент інерції щодо осі, що проходить через центр мас J0. можна порівняно легко розрахувати, теорема Штейнера дозволяє визначити момент інерції відносно довільної осі Jс. уникнувши вельми трудомістких розрахунків.
Теорему Штейнера можна експериментально підтвердити, якщо виміряти момент інерції тіла при різних відстанях а від осі обертання до центра мас тіла. Якщо залежність J (a2) буде лінійної з кутовим коефіцієнтом, рівним масі тіла, то теорема вірна.
Одним з методів вимірювання моменту інерції тіл є метод крутильного маятника. Крутильний маятник - це тіло, довільної форми, підвішене на пружних струнах. У лабораторній установці - це рамка (рис.1). Якщо рамку відхилити від положення рівноваги і відпустити, то вона під дією моменту пружних сил струни (M = -kα) повертається до стану рівноваги, але за інерцією проходить положення рівноваги, закручуючи струну в протилежному напрямку. Виникають обертальні коливання. Застосуємо основний закон динаміки обертального руху: твір моменту інерції рамки на кутовий прискорення дорівнює моменту пружних сил підвісу:
Це диференціальне рівняння другого порядку. Його рішенням повинна бути функція, що обертає його в тотожність. В даному випадку це рівняння гармонійних коливань, де Т - період коливань. Підставивши функцію в рівняння (4), отримаємо, що вона буде рішенням, якщо період коливань маятника дорівнює
Досліджуване тіло являє собою складовою циліндр з двох половин, полуцилиндров. Одягнемо їх на стрижень на однаковій відстані а (рис. 2). Момент інерції маятника зміниться і дорівнюватиме сумі моменту інерції рамки і шуканого моменту інерції циліндра. Період теж зміниться і стане рівним
Вирішуючи спільно рівняння (5) і (6), виключаючи коефіцієнт пружності до, отримаємо формулу для експериментального визначення моменту інерції циліндра за відомим моменту інерції рамки
ВИКОНАННЯ РОБОТИ
1. Переконатися, що прапорець рамки при коливаннях не зачіпає фотоелемент і перекриває промінь. Зняти півциліндри зі стрижня, визначити масу циліндра (як сумарну масу половин). Записати масу і момент інерції рамки, вказаний на установці, в табл. 1.
Включити установку в мережу 220 В, натиснути кнопку «Мережа».
2. Визначити період коливань ненагруженной рамки Тр. Для цього відвести рамку до електромагніту. Магніт притягне рамку.
Натиснути кнопку «Пуск». Магніт відпустить рамку. Розпочнеться рахунок часу і числа коливань. Щоб виміряти час десяти коливань t слід після скоєння дев'ятого коливання натиснути кнопку «Стоп». Період дорівнює Tр = t / 10. Записати в табл. 1.
4. Провести розрахунки в системі СІ. Розрахувати момент інерції циліндра за формулою (7) для різних відстаней полуцилиндров від осі. Розрахувати квадрати відстаней А2. Записати в табл. 2.
5. Побудувати графік залежності моменту інерції циліндра від квадрата відстані циліндра від осі А2. Розмір графіка не менше половини сторінки. На осях координат вказати рівномірний масштаб.
Близько точок провести пряму лінію так, щоб сума відхилень була мінімальна.
Побудувати на експериментальній лінії, як на гіпотенузі, трикутник (рис. 4). Визначити кутовий коефіцієнт лінії за координатами вершин А, В
6. Порівняти отримане значення кутового коефіцієнта m з масою складеного циліндра mціл. Оцінити відносну похибку виконання теореми Штейнера
7. Зробити висновки.
КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ
1. Дайте визначення моменту інерції тіла, його фізичний зміст.
2. Виведіть і сформулюйте теорему Штейнера і умови її застосування.
3. Виведіть формулу для періоду коливань рамки маятника.
4. Виведіть формулу для експериментального визначення моменту інерції досліджуваного циліндра по виміряним періодів коливань маятника і маятника з циліндром.
5. За яких умов може бути підтверджена теорема Штейнера?
6. З якою метою визначають кутовий коефіцієнт експериментальної лінії на графіку J (a 2)?