Визначення модуля пружності методом вигину - вчися як на парах!
Мета роботи: експериментальне визначення модулів пружності пластин, виготовлених з різних матеріалів, методом вигину.
Прилади й приналежності: установка «Модуль Юнга», пластини, набір вантажів масою 0.05 кг, 0.1 кг і 0.15 кг.
Елементи теорії та метод експерименту
У різних елементах конструкцій і машин часто виникають тільки поздовжні зусилля, які викликають у них деформацію розтягування або стиснення.
Англійський вчений XVII століття Роберт Гук відкрив фундаментальну закономірність між силами і що викликаються ними переміщеннями, яка встановлює прямопропорційно залежність подовження зразка від сили, що розтягує.
Англійський вчений XIX століття Томас Юнг вперше висловив ідею про те, що для кожного матеріалу існує постійна величина, що характеризує його здатність чинити опір впливу зовнішніх навантажень. Поняття про цю величині, названої ним «модулем пружності» (пізніше «модулем Юнга»), було сформульовано в 1807 р у праці «Природна філософія».
Модуль пружності характеризує найважливішу властивість конструкційного матеріалу - жорсткість - і є фундаментальним поняттям, без якого не обходиться жоден інженерний розрахунок елементів конструкцій і споруд. На рис. 1 зображений стержень з прямолінійною віссю під дією поздовжніх сил N, де
# 963; - нормальна напруга,
A - площа поперечного перерізу стержня.
Мал. 1. Поздовжні і поперечні деформації стрижня
При дії поздовжніх сил стрижень деформується. Якщо він розтягнутий, то довжина його збільшується і стає рівною L + # 8710; L. де # 8710; L - це абсолютна поздовжня деформація (подовження) стрижня. Поперечні розміри його зменшуються і приймають значення H- # 8710; H і B- # 8710; B. де # 8710; H і # 8710; B - це абсолютні поперечні деформації стрижня.
Ставлення абсолютної поздовжньої деформації стрижня до його первісної довжині називається відносної поздовжньої деформацією:
Ставлення абсолютної поперечної деформації стрижня до його початкового поперечного розміру називається відносної поперечної деформацією:
Тут знак «+» у деформації і знак «-» у деформацій і поставлені тому, що при розтягуванні поздовжні розміри стержня збільшуються, а поперечні зменшуються.
Останній крок у формуванні закону Гука в його сучасному вигляді зробили французький математик Коші, який в 1822 р ввів в наукову літературу поняття «напруга» і «деформація», і французький вчений Нав'є, який в 1826 р дав визначення модуля пружності як відношення навантаження , що припадає на одиницю площі поперечного перерізу, до виробленого нею відносно подовження
Де E - модуль Юнга (модуль пружності першого роду).
Таким чином, закон Гука отримав практичне застосування в вигляді формули
Модуль пружності E є фізичною постійною матеріалу і визначається експериментально. Його величина виражається в тих же одиницях, що і напруги # 963 ;, т. Е. В паскалях (Па), так як # 949; - безрозмірна величина. Модуль пружності більшості матеріалів має великі числові значення і його зазвичай висловлюють в гігапаскаля (ГПа).
Абсолютне значення відносини відносної поперечної деформації і відносної поздовжньої деформації при розтягуванні або стисненні в області дії закону Гука називається коефіцієнтом Пуассона
Це безрозмірний коефіцієнт, що характеризує властивості матеріалу і визначається експериментально. Він носить ім'я французького вченого, який вперше ввів його в теорію.
Після додатки до тіла зовнішнього навантаження його точки переміщаються. Зазвичай величини пружних переміщень вважаються малими в порівнянні з геометричними розмірами тіл, що деформуються. Розглянемо ці переміщення на прикладі консольної балки довжиною L з односторонньою зовнішньої закладенням, зображеної на рис. 2. До вільного кінця балки прикладена зосереджена сила F. яка і викликає деформації її точок. Прогин балки в поточному перетині позначимо # 948 ;. Виділимо елемент обсягу балки довжиною Dz. що знаходиться на відстані Z від закріпленого кінця.
Мал. 2. Вигин консольної балки
Деформований стан в поточному перетині балки описується радіусом кривизни або кривизною її зігнутої осі.
Відомо [2], що рівняння зігнутої осі балки має вигляд:
Де IX - осьовий момент інерції
На рис. 3 зображено довільне перетин, що представляє собою плоску геометричну фігуру, площа якої A. Виділимо на ній елементарну площу DA.
Визначимо момент інерції прямокутного перерізу відносно осей СX і Сy. проходять через його центр, як це показано на рис. 4.
Розділимо площа прямокутника на елементарні прямокутники з розмірами B і Dy. площа яких. Підставляючи значення в вираз (9) і інтегруючи, одержуємо:
Розглянемо балку довжиною L. встановлену на двох опорах і навантажену, як це зображено на рис. 5.
Рішення диференціального рівняння (8) можна отримати послідовним інтегруванням. Коли зовнішнє навантаження розташована симетрично щодо опор, як показано на рис. 5, то рішення цього рівняння [2] набуде вигляду:
Тому модуль Юнга визначається формулою
З урахуванням виразу (10) отримаємо
Отже, визначивши навантаження F і значення прогину # 948; для балки (пластини) довжиною L з поперечними розмірами перетину B і H. за формулою (14) можна обчислити модуль Юнга матеріалу, з якого вона виготовлена.
Опис експериментальної установки
Схематичне зображення установки «Модуль Юнга» наведено на рис. 6.
Установка «Модуль Юнга» складається з підстави 1, на якому закріплена стійка 2. На стійці розташований кронштейн 3 з двома призматичними опорами 4. На опори встановлюється досліджуваний зразок 5 (пластина). За допомогою пристрою навантаження зразка 7, що представляє собою скобу з призматичної опорою, до зразка прикріплюються набірний вантаж 6 і часовий індикатор 8.
Порядок виконання роботи
1. Поставити одну з досліджуваних пластин на призматичні опори 4.
2. Встановити часовий індикатор 8 так, щоб його наконечник торкнувся пластини.
3. Повісити скобу пристрою 7 посередині пластини.
4. Прикріпити на скобу вантаж масою M1 = 0,1 кг.
5. За шкалою індикатора 8 визначити значення прогину пластини # 948; 1.
7. Повісити на скобу вантаж масою M2 = 0,15 кг.
8. За шкалою індикатора 8 визначити значення прогину пластини # 948; 2.
9. Розрахувати навантаження F за формулою
Де G - прискорення вільного падіння.
10. Значення прогину пластини визначити як
11. Знайти модуль Юнга за формулою (14), де L = 0,114 м - відстань між призмами (довжина пластини); B = 0,012 м - ширина перетину пластини; H = 0,0008 м - товщина пластини; # 948; - величина прогину пластини, м.
12. Виконати зазначені вище дії з другої пластиною.
13. Повторити для обох пружин пп. 1-12 ще два рази.
Матеріал досліджуваних зразків - сталь пружинна і бронза.
Поясніть отримані результати модулів пружності пластин, порівняйте їх з довідковими даними [3, 4].
Порядок оцінки похибок
Вважати, що похибка оцінки величини модуля Юнга за формулою (14) визначається похибкою вимірювання довжини пластини L (систематична похибка) і похибкою оцінки прогину d (систематична + випадкова похибки).
Записати результати прямих вимірювань зазначених параметрів:
Б) d =
Записати результати непрямих вимірювань:
Питання і завдання для самоконтролю
1. Чим відрізняється нормальне напруга від дотичного?
2. За якими формулами визначаються абсолютна і відносна деформації?
3. Яка величина називається модулем пружності першого роду?
4. Як визначається коефіцієнт Пуассона?
5. Що називається жорсткістю перерізу при згині?
6. У чому полягає відмінність формул осьового моменту інерції перетину щодо осей Ox і Oy?
7. Якою формулою виражається прогин двухопорной балки?