Визначений інтеграл як функція верхньої межі - студопедія
Нехай функція f (t) визначена і неперервна на деякому проміжку, що містить точку a. Тоді кожному числу x з цього проміжку можна поставити у відповідність число,
визначивши тим самим на проміжку функцію I (x), яка називається певним інтегралом із змінною верхньою межею. Відзначимо, що в точці x = a ця функція дорівнює нулю. Обчислимо похідну цієї функції в точці x. Для цього спочатку розглянемо приріст функції в точкеx при збільшенні аргументу Dx:
Як показано на Рис. 4, величина останнього інтеграла у формулі для збільшення DI (x) дорівнює площі криволінійної трапеції, зазначеної штрихуванням. При малих величинах Dx (тут, так само як і всюди в цьому курсі, кажучи про малі величинах збільшень аргументу або функції, маємо на увазі абсолютні величини приростів, так як самі збільшення можуть бути і позитивними, і негативними) ця площа виявляється приблизно рівною площі прямокутника, відзначеного на малюнку подвійним штрихуванням. Площа прямокутника визначається формулою f (x) Dx. Звідси отримуємо співвідношення
В останньому наближеному рівність точність наближення тим вище, чим менше величина Dx.
Зі сказаного випливає формула для похідної функції I (x):
Похідна певного інтеграла за верхньою межею в точці x дорівнює значенню підінтегральної функції в точці x. Звідси випливає, що функція є первісною для функції f (x), причому такий первісної, яка приймає в точці x = a значення, рівне нулю. Цей факт дає можливість представити певний інтеграл у вигляді
Нехай F (x) теж є первісною для функції f (x), тоді за теоремою про загальний вигляд всіх первісних функції I (x) = F (x) + C. де C - деяке число. При цьому права частина формули (1) набуває вигляду
З формул (1) і (2) після заміни x на b слід формула для обчислення певного інтеграла від функції f (t) по проміжку [a; b]:
яка називається формулойНьютона-Лейбніца. Тут F (x) - будь-яка первісна функції f (x).
Для того, щоб обчислити визначений інтеграл від функції f (x) по проміжку [a; b], потрібно знайти якусь первісну F (x) функції f (x) і підрахувати різницю значень первісної в точках b і a. Різниця цих значень первісної прийнято позначати символом. тобто .
Заміна змінної в певному інтегралі. При обчисленні визначених інтегралів з використанням формули Ньютона-Лейбніца переважно жорстко не розмежовувати етапи рішення задачі (знаходження первісної підінтегральної функції, знаходження збільшення первісної). Такий підхід, що використовує, зокрема, формули заміни змінної та інтегрування частинами для визначеного інтеграла, зазвичай дозволяє спростити запис рішення.
ТЕОРЕМА. нехай функція # 966; (t) має безперервну похідну на відрізку [# 945;, # 946;], а = # 966; (# 945;), в = # 966; (# 946;) і функція f (х) неперервна в кожній точці х виду х = # 966; (t), де t [# 945;, # 946;].
Тоді справедливо наступне рівність:
Ця формула носить назву формули заміни змінної в певному інтегралі.
Подібно до того, як це було у випадку невизначеного інтеграла, використання заміни змінної дозволяє спростити інтеграл, наблизивши його до табличного (табличним). При цьому на відміну від невизначеного інтеграла в даному випадку немає необхідності повертатися до початкової змінної інтегрування. Досить лише знайти межі інтегрування # 945; і # 946; за новою змінною t як рішення щодо змінної t рівнянь # 966; (t) = а і # 966; (t) = в. На практиці, виконуючи заміну змінної, часто починають з того, що вказують вираз t = # 968; (х) нової змінної через стару. В цьому випадку знаходження меж інтегрування по змінній t спрощується: # 945; = # 968; (а), # 946; = # 968; (в).
Приклад 19. Обчислити
Покладемо t = 2-х 2. Тоді dt = d (2-х 2) = (2-х 2) 'dx = -2xdx і xdx = - dt. Якщо х = 0, то t = 2-0 2 = 2, і якщо х = 1, то t = 2-1 2 = 1. отже:
Інтегрування по частинах. Метод інтегрування частинами дозволяє звести вихідний невизначений інтеграл до простішого вигляду або до табличному інтегралу. Цей метод найбільш часто застосовується, якщо підінтегральна функція містить логарифмічні, показові, зворотні тригонометричні, тригонометричні функції, а також їх комбінації.
Формула інтегрування частинами наступна.
Тобто, підінтегральний вираз f (x) dx представляємо у вигляді добутку функції u (x) наd (v (x)) - диференціал функції v (x). Далі знаходимо функцію v (x) (найчастіше методом безпосереднього інтегрування) і d (u (x)) - диференціал функції u (x). Підставляємо знайдені вирази в формулу інтегрування частинами і вихідний невизначений інтеграл зводиться до різниці. Останній невизначений інтеграл може бути взятий з використанням будь-якого методу інтегрування, в тому числі і методу інтегрування по частинах.
Як приклад знайдемо безліч первісних функції логарифма.
Знайти невизначений інтеграл
Знайдемо цей невизначений інтеграл методом інтегрування частинами. В якості опції u (x) візьмемо ln (x). а в якості d (v (x)) решту подинтегрального вираження, тобто dx.
Диференціал функції u (x) є. а функція v (x) - це.
ЗАУВАЖЕННЯ: константу С при знаходженні функції v (x) вважають рівною нулю.
Тепер все підставляємо в формулу інтегрування частинами:
.
Найскладніше, що є в цьому методі - це правильно визначити, яку частину подинтегрального вираження брати за u (x). а яку за d (v (x)).
Розглянемо стандартні випадки.
Для інтегралів виду або. де - многочлен ступеня n. a - коефіцієнт, в якості опції u (x) вибираємо многочлен.