Вивчення законів руху планет

ВИВЧЕННЯ ЗАКОНІВ РУХУ планет

Мета роботи: вивчення руху тіл під дією сил тяжіння; перевірка третього закону Кеплера.

На зміну геоцентричної системі світу, створеної на початку нашої ери Птолемей, прийшла геліоцентрична система, створена Коперником. Дещо пізніше німецький астроном І. Кеплер на основі астрономічних спостережень встановив закони руху планет навколо Сонця.

Згідно 1-му закону Кеплера будь-яка планета рухається навколо Сонця по замкнутій кривій, яка називається еліпсом (зовні схожий на овал). Сонце знаходиться в одному з фокусів цього еліпса. Еліпс має два фокуси: це дві такі точки всередині кривої, сума відстаней від яких до довільної точки еліпса постійна. Виявляється, що орбіти всіх планет Сонячної системи лежать приблизно в одній площині. Більшість планет рухаються по орбітах-еліпсам, які близькі до кіл. Лише Марс і Плутон мають порівняно витягнуті орбіти.

Другий закон Кеплера встановлює, що швидкість планети більше тоді, коли вона в своєму русі знаходиться ближче до Сонця (в так званій точці перигелію) і менше тоді, коли вона знаходиться на найбільшій відстані від Сонця (в точці Офелія). Третій закон Кеплера встановлює зв'язок між періодом обертання планети навколо Сонця і її середнім відстанню від Сонця, він застосовується до всього колективу планет Сонячної системи.

Закони Кеплера отримали своє пояснення лише після відкриття законів тяжіння. Фізичні об'єкти беруть участь в гравітаційній взаємодії, тобто вони притягуються один до одного. Гравітаційна взаємодія має загальної універсальністю: йому піддаються всі матеріальні об'єкти і навіть фізичні поля. Закон всесвітнього тяжіння був відкритий І. Ньютоном. Він стверджує, що два нерухомих точкових тіла взаємодіють один з одним з силою, пропорційною добутку їх мас і обернено пропорційною квадрату відстані між ними, тобто

де # 947; називають гравітаційною сталою. Цей закон справедливий і для взаємодії однорідних куль, але в цьому випадку під r слід розуміти відстань між їх центрами.

Розглянемо рух планети навколо Сонця (рис. 1). Планета рухається під дією сили F (сили тяжіння (1)), яка діє вздовж лінії, що з'єднує центри тіл. Рухом Сонця можна знехтувати, так як його маса М набагато більша за масу планети m. Нехай орбіта планети представляє собою коло, тоді швидкість руху планети спрямована по дотичній до цього кола і перпендикулярно діючій силі. Швидкість в цьому випадку постійна за величиною, тому планета рухається з доцентровим прискоренням. Другий закон Ньютона для цього руху виглядає наступним чином:

Звідси отримуємо, що. Період обертання планети навколо Сонця. Висловивши з попередньої формули v, отримуємо. Звівши праву і ліву частини цієї формули в квадрат, після перетворень отримаємо:

Це і є третій закон Кеплера, який можна сформулювати наступним чином: відношення куба відстані від планети до Сонця до квадрату періоду її обертання навколо Сонця є величина постійна, однакова для всіх планет Сонячної системи. У разі руху по еліпсу, коли відстань від планети до Сонця при русі змінюється, в законі фігурує деякий середня відстань, тобто полусумма максимального і мінімального відстаней від даної планети до Сонця. Закон Кеплера справедливий для будь-якої планетної системи, а також для системи супутників будь-якої конкретної планети, наприклад, для системи супутників Юпітера або Урана. В останньому випадку під М у формулі (2) розуміється маса відповідно Юпітера або Урана.