випадкові величини

Определеніе1.Случайная величина - змінна величина, яка випадковим чином в результаті досвіду приймає деяке числове заздалегідь невідоме значення з певного безлічі значень, при цьому визначена ймовірність події, що складається в тому, що випадкова величина прийме це значення.

Завдання цієї ймовірності називається законом розподілу випадкової величини (або).

Определеніе2. Випадковою величиною X називається однозначна числова функція. певна на просторі елементарних подій. яка кожному елементарному події ставить у відповідність число. . При цьому повинні бути визначені ймовірності елементарних подій.

Для позначення випадкових величин зазвичай використовуються прописні букви латинського алфавіту X. Y. Z. ...; відповідні ним малі букви x. y. z. ... позначають конкретні значення, які вони приймають.

Розрізняють два види випадкових величин - дискретні і безперервні, в залежності від типу безлічі значень.

Дискретна випадкова величина приймає ізольовані один від одного числові значення з кінцевого або нескінченного рахункового безлічі значень, тобто такого безлічі, елементи якого можуть бути пронумеровані і виписані в послідовності. . ...,. ...

Безперервна випадкова величина приймає невідомі номери з деякого інтервалу:.

Так число майбутніх генералів серед ста випускників школи міліції - дискретна випадкова величина з можливими значеннями 0, 1, 2, ..., 100, а дальність польоту кулі при пострілі - безперервна і заздалегідь невідома величина від 0 до 1 км.

Функція розподілу випадкової величини

Випадкові величини різноманітні за своєю природою, походженням, проте закон розподілу можна записати в однакової універсальної формі, а саме у вигляді функції розподілу.

Функцією розподілу випадкової величини Х називається функція F (х), що виражає для кожного х ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення менше х. .

Геометрично, функція розподілу інтерпретується як імовірність того, що випадкова величина Х потрапить лівіше заданої точки х числової осі.

Функцію F (х) називають також інтегральною функцією розподілу (або інтегральним законом розподілу).

Властивості функції розподілу:

1. Функція розподілу випадкової величини F (х) - невід'ємна, і її значення укладені між нулем і одиницею:.

2. Функція розподілу F (х) є неубутна функція:.

3. Якщо неперервна випадкова величина Х визначена на всій числовій осі, то

4. Якщо випадкова величина Х приймає значення тільки на відрізку [a; b], то її функція розподілу F (x) така:

5. Імовірність попадання випадкової величини Х в напіввідкритий інтервал дорівнює приросту її функції розподілу на цьому інтервалі:

6.Функція розподілу F (x) довільної випадкової величини Х неперервна зліва, тобто лівий межа функції F (x) в точці а дорівнює її значенню в точці а:

7. P (X ≤ a) = F (a +0), де правий межа функції в точці а;

або в більш розгорнутому вигляді:

Р (Х ≤a) = P (X

З цієї рівності отримуємо: ймовірність того, що випадкова величина Х прийме конкретне значення а, що дорівнює Р (Х = а): Р (Х = а) = F (а + 0) - F (a).

Дискретні випадкові величини

Зазвичай закон розподілу задається у вигляді таблиці, яка називається рядом розподілу.

Тут перший рядок містить всілякі (кінцеві або нескінченні) значення випадкової величини Х (зазвичай перераховуються в порядку зростання), тобто х1. х2. ..., х n ...; а в іншому рядку вказані ймовірності прийняття випадкової величини Х цих значень. тобто p 1 = P (X = x 1), p 2 = P (X = x 2), .... pn = P (X = xn) ....

Відзначимо, що події. . ...,

попарно несумісні і утворюють повну групу, тому сума їх ймовірностей дорівнює одиниці:.

Функція розподілу дискретної випадкової величини:

- є розривна ступінчаста кусочно-постійна функція, скачки якої відбуваються в точках, що відповідають можливим значенням випадкової величини і рівні можливостям цих значень. Сума всіх стрибків функції F (х) дорівнює 1.

Приклад. Дискретна випадкова величина Х має ряд розподілу:

Знайти функцію розподілу F (х).

Рішення: Обчислимо значення функції розподілу

У цій формулі підсумовуються лише ті ймовірності pk з ряду розподілу, які відповідають значенням х k. меншим (розташованим лівіше) ніж значення х, в якому обчислюється функція F (x).

F (x) = 0 для х≤-1 (так як xk. Менших х в ряді розподілу немає);

F (x) = 0,2 для -1<х≤0 (так как х1 =-1<х, и одно слагаемое р1 =0,2);

F (x) = 0,2 + 0,1 = 0,3 для 0<х≤2 (так как х1 =-1

F (x) = 0,2 + 0,1 + 0,3 = 0,6 для 2<х≤3 (так как

F (x) = 0,2 + 0,1 + 0,3 + 0,2 = 0,8 для 3<х≤4 (так как х1 =-1

Безперервні випадкові величини

Будемо припускати, що функція розподілу неперервної випадкової величини неперервна в будь-якій точці області визначення і диференційована всюди, крім, може бути, кінцевого числа точок.

Щільністю ймовірності (щільністю розподілу або просто щільністю) випадкової величини Х називається похідна від функції розподілу:.

Щільність ймовірності іноді також називають диференціальним законом або диференціальної функцією розподілу.

Властивості щільності ймовірності:

1. Щільність ймовірності - невід'ємна функція:.

3. Імовірність того, що неперервна випадкова величина Х прийме значення х. належить

Сума (різниця, твір) випадкових велічінX іY

Дві випадкові величини X і Y називаються незалежними. якщо події і незалежні для всіх значень і.

Сумою (різницею, твором) випадкових величин X і Y називається випадкова величина, що позначається як X + Y (X - Y. X · Y) яка приймає всі можливі значення виду (.), Де i = 1,2. n і j = 1,2, ..., m з вірогідністю того, що випадкова величина X прийме значення. а випадкова величина Y прийме значення.

У разі незалежності X і Y.

Числові характеристики випадкових величин

Імовірнісний сенс математичного очікування полягає в тому, що воно дає середнє значення випадкової величини.

Математичне сподівання М X (або М (X)) дискретної випадкової величини X визначається формулою:. Безперервної: (якщо інтеграл сходиться).

Властивості математичного очікування:

1.Якщо випадкова величина x приймає одне і те ж значення, тобто X º С, то її математичне сподівання дорівнює С: М (С) = С.

2.Постоянний множник можна виносити за знак математичного очікування: М (k X) = kM X. де k константа.

3. Математичне сподівання алгебраїчної суми двох (або більше) випадкових величин X і Y. певних на одному і тому ж просторі елементарних подій, так само сумі алгебри їх математичних очікувань: M (X + Y) = M X + M Y.

4.Математіческое сподівання добутку двох (або більше) незалежних випадкових величин X і Y. певних на одному і тому ж просторі елементарних подій, дорівнює добутку їх математичних сподівань: М (XY) = М X × М Y.

5. Математичне сподівання відхилення випадкової величини від її математичного очікування дорівнює нулю: М (X -МХ) = 0.

Дисперсія DX випадкової величини X визначається формулою: DX = M (X - M X) 2.

або, словами, дисперсія випадкової величини - це математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування.

Для обчислення дисперсії використовують формулу:.

Для дискретної випадкової величини формулу записують так: D X = =.

(Якщо інтеграл сходиться).

Дисперсія характеризує міру розсіювання (розкиданості) значень випадкової величини щодо її математичного очікування. Якщо всі значення випадкової величини тісно сконцентровані біля її математичного очікування і більші відхилення від математичного очікування малоймовірні, то така випадкова величина має малу дисперсію. Якщо значення випадкової величини розсіяні і велика ймовірність великих відхилень від математичного очікування, то така випадкова величина має велику дисперсію.

1.Дісперсія постійної величини дорівнює нулю: D (С) = 0.

2.Постоянний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його в квадрат:

D (kX) = k 2 D (X).

3.Дісперсія алгебраїчної суми кінцевого числа незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій:.

Відомості про закони розподілу ймовірностей випадкових величин представимо для наочності наступною таблицею: