випадкові події

Теорія ймовірностей - математична наука, що вивчає закономірності масових випадкових явищ (подій).

Випадковою подією (або просто подією) називається будь-яке явище, яке може відбутися або не відбутися під час здійснення певної сукупності умов. Теорія ймовірностей має справу з такими подіями, які мають масовий характер. Це означає, що дана сукупність умов може бути відтворена необмежену кількість разів. Кожне таке здійснення даної сукупності умов називають випробуванням (або досвідом).

Якщо, наприклад, випробування полягає в киданні монети, то випадання герба є подією; якщо випробування - виготовлення підшипника даного типу, то відповідність підшипника стандарту - подія; якщо випробування - кидання грального кубика, т. е. кубика, на гранях якого проставлені цифри (окуляри) від 1 до 6, to випадання п'ятірки - подія.

Події будемо позначати великими літерами латинського алфавіту: A. В. С.

Нехай при n випробуваннях подія A з'явилося m раз.

Ставлення m / n називається частотою (відносної частотою) події A і позначається Р * (А) = m / n

Досвід показує, що при багаторазовому повторенні випробувань частота Р * (А) випадкової події має стійкість. Пояснимо це на прикладі.

Подія називається достовірною. якщо воно в даному досвіді обов'язково повинно статися; навпаки, подія називаетсяневозможним. якщо воно в даному досвіді не може відбутися.

Нехай, наприклад, з урни, що містить тільки чорні кулі, виймають кулю. Тоді поява чорного кулі - достовірна подія; поява білої кулі - неможлива подія.

Якщо подія достовірно, то воно станеться при кожному випробуванні (m = n). Тому частота достовірного події завжди дорівнює одиниці. Навпаки, якщо подія неможливо, то воно ні при одному випробуванні здійсниться (m = 0). Отже, частота неможливого події в будь-який серії випробувань дорівнює нулю. Тому ймовірність достовірної події дорівнює одиниці, а ймовірність неможливого події дорівнює нулю.

Якщо подія A не є ні достовірним, ні неможливим, то його частота m / n при великому числі випробувань буде мало відрізнятися від деякого числа p (де 0

Суміщенням (або твором) двох подій A і В називається подія, яке у спільному наступі як події A. так і події В. Ця подія будемо позначати АВ або ВА.

Аналогічно, суміщенням декількох подій, наприклад A. В і С. називається подія D = ABC. яке у спільному наступі подій A. В і С.

Об'єднанням (або сумою) двох подій A і В називається подія С. полягає в тому, що станеться принаймні одна з подій A або В. Ця подія позначається так: С = А + В.

Об'єднанням декількох подій називається подія, яке у появу принаймні одного з них. Запис D = A + B + C означає, що подія D є об'єднання подій A. В і С.

Дві події A і В називаються несумісними, якщо настання події A виключає настання події В. Звідси випливає, що якщо події A і В несумісні, то подія AB - неможливе.

Розглянемо наступний приклад. Будемо стежити за рухом якої-небудь певної молекули газу, укладеного в певний обсяг. Усередині цього обсягу виділимо обсяги і. частково перекривають одна одну (рис. 1). Нехай подія A - потрапляння молекули в обсяг. подія В - потрапляння молекули в обсяг. Поєднанням подій A і В є потрапляння молекули в загальну частину обсягів і. Якщо обсяги і не мають спільних точок, то ясно, що події A і В несумісні. Об'єднанням подій A і В є потрапляння молекули або тільки в обсяг або тільки в обсяг. або ж в їх загальну частину.

Нехай A і B - два несумісних події, причому в n випробуваннях подія A сталося m1 раз, а подія В відбулася m2 раз. Тоді частоти подій A і В відповідно рівні P * (A) = m1 / n. P * (B) = m2 / n. Так як події A і В несумісні, то подія A + B у даній серії дослідів сталося m1 + m2 раз. отже,

Таким чином, частота події A + B дорівнює сумі частот подій A і В. Але при великих n частоти P * (A). P * (B) і P * (A + B) мало відрізняються від відповідних ймовірностей P (A). P (B) і P (A + B). Тому природно прийняти, що якщо A і В - несумісні події, то P (A + B) = P (A) + P (B)

Викладене дозволяє висловити наступні властивості ймовірностей, які ми приймаємо в якості аксіом.

Аксіома 1. Кожна випадковій події A відповідає певне число Р (А), зване його ймовірністю і задовольняє умові.

Аксіома 2.Вероятность достовірної події дорівнює одиниці.

Аксіома 3 (аксіома додавання ймовірностей). Нехай A і В - несумісні події. Тоді ймовірність того, що станеться хоча б одне з цих двох подій, дорівнює сумі їх ймовірностей:

Всі теми даного розділу:

Умовна ймовірність. Теорема множення ймовірностей.
У багатьох задачах доводиться знаходити ймовірність поєднання подій А і В, якщо відомі ймовірності подій А і В. Розглянемо наступний приклад. Нехай кинуті д

Формула повної ймовірності.
Нехай подія A може відбутися тільки разом з одним з попарно несумісних подій H1, H2. Hn, що утворюють повну групу. Тоді, якщо відбулася подія A,

ПОСЛІДОВНІ ВИПРОБУВАННЯ. Формула Бернуллі.
Припустимо, що виробляється n незалежних випробувань, в результаті кожного з яких може наступити або не наступити деяке подія A. Нехай при кожному випробуванні ймовірність нас

Дискретні випадкові величини.
Розглянемо випадкову величину *. можливі значення якої утворюють кінцеву або нескінченну остан

Функція розподілу ймовірностей випадкової величини і її властивості.
Розглянемо функцію F (х), визначену на всій числовій осі таким чином: для кожного х значення F (х) дорівнює ймовірності того, що дискретна випадкова величина

Рівномірний розподіл.
Нехай сегмент [a, b] осі Ox є шкала деякого приладу. Припустимо, що ймовірність попадання покажчика в певний відрізок шкали пропорційна довжині цього відрізка і не залежить від м

Нормальний розподіл.
Кажуть, що випадкова величина нормально розподілена або підкоряється закону розподілений

Двовимірні випадкові величини.
Часто доводиться вирішувати завдання, в яких розглядаються події, описувані не однієї, а декількома - зокрема, двома випадковими величинами. Так якщо верстат-автомат штампує циліндричні ва

Математичне сподівання випадкової величини і його властивості.
Розглянемо спочатку такий приклад. Нехай на завод надійшла партія, що складається з N підшипників. При цьому: m1 - число підшипників із зовнішнім діаметром х1

Лінійні функції випадкових величин.
Нехай - нормально розподілена випадкова величина з параметрами

Леми Чебишева.
У цьому пункті доведемо такі дві леми, що належать Чебишеву * Лемма 1. Нехай

Закон великих чисел Чебишева.
Має місце наступне твердження. Нехай - послідовність попарно незалежних випадкових

Закон великих чисел Бернуллі.
Нехай проводиться послідовність незалежних випробувань, в результаті кожного з яких може наступити або не наступити подія А, причому ймовірність настання цієї події одна і т

Теорема Ляпунова.
Часто доводиться мати справу з такими випадковими величинами, які є сумами великого числа незалежних випадкових величин. При деяких досить загальних умовах виявляється, що ця сума име

Основний закон помилок.
Коли ми виробляємо деякий вимір, то на його результат впливає велика кількість чинників, які породжують помилки вимірювань. Помилки вимірів в основному можна поділити на три групи: 1)

Визначення невідомої функції розподілу.
Нехай ми маємо справу з безперервною випадковою величиною. значення якої отримані зі спостережень. ра

Визначення невідомих параметрів розподілу.
C допомогою гістограми ми можемо наближено побудувати графік щільності розподілу випадкової величини

Аналіз лінійної кореляції по досвідченим даним.
Одним із завдань математичної статистики є дослідження кореляційної залежності між випадковими величинами. Нехай проведено n дослідів, в результаті яких отримано такі зна