Відстань між центрами кіл радіусів 1 і 9 дорівнює 17

Відстань між центрами кіл радіусів 1 і 9 дорівнює 17. Цих кіл і їх загальної внутрішньої дотичній стосується третя окружність.

а) Доведіть, що її точка дотику з прямою збігається з точкою дотику однієї з перших двох кіл.

б) Знайдіть радіус третьої окружності.

а) Нехай х-радіус шуканої окружності, О-її центр. СD-внутрішня дотична даних кіл, О1 і О2 - їх центри. Зауважимо, що пряма CD - або загальна зовнішня дотична кіл з центрами О і О2 (див. Рис.), Або кіл з центрами О і О1 (див. Рис.). При цьому її точка дотику з прямою збігається з точкою дотику однієї з перших двох кіл, так як дотична буде проходити через спільну точку (точку дотику) кіл.

б) Для знаходження радіусу третьої окружності, доведемо спочатку наступне твердження. Якщо а-відстань між центрами кіл радіусів r і R, a⩾r + R, загальна зовнішня дотична стосується кіл в точках А і В, внутрішня в точках С і D, то
AB = sqrt (a ^ 2 (R-r) ^ 2), CD = sqrt (a ^ 2 (R + r) ^ 2).
Дійсно, нехай О1 і О2-центри кіл радіусів r і R відповідно (див. Рис.2). З точок О1 і О2 опустимо перпендикуляри О1Q на пряму О2В і О2F на пряму О1С. З прямокутних трикутників О1QO2 і O1FO2 знаходимо, що
O1Q = sqrt (O1O2 ^ 2-QO2 ^ 2) = sqrt (a ^ 2 (Rr) ^ 2), O2F = sqrt (O1O2 ^ 2-FO1 ^ 2) -sqrt (a ^ 2 (R + r) ^ 2).
Отже, CD = O2F = sqrt (a ^ 2 (R + r) ^ 2).
За доведеним CD = sqrt (17 ^ 2 (1 + 9) ^ 2) = sqrt ((17-10) (17 + 10)) = sqrt (7 * 27) = 3sqrt (21)

У першому випадку CD-загальна зовнішня дотична до кола з центрами О і О2, тому CD = sqrt ((x + 9) ^ 2 (9-x) ^ 2) = 6sqrt (х)
6sqrt (х) = 3sqrt (21)
2sqrt (х) = sqrt (21)
4х = 21
х = 5,25

У другому випадку CD-загальна зовнішня дотична до кіл з центрами О і О1, тому CD = sqrt ((x + 2) ^ 2 (2-x) ^ 2) = 2sqrt (х)
2sqrt (х) = 3sqrt (21)
4x = 189
x = 47,25

відправити + реєстрація в один клік