Узагальнені сили - студопедія

Положення точок кривошипно-шатунного механізму (рис.70) можна визначити завданням кута повороту кривошипа або відстанню s. визначальним становище повзуна В (при).

Положення сферичного маятника (мал.71) визначається завданням двох параметрів, кутів і.

Мінімальна кількість незалежних один від одного узагальнених координат, яких достатньо, щоб повністю і однозначно визначити положення всіх точок системи, називають числом ступенів свободи цієї системи.

Взагалі для будь-якої матеріальної системи можуть містити декілька узагальнених координат. Наприклад, у кривошипно-шатунного механізму (рис.70) вказані дві узагальнені координати і. Але це не означає, що у механізму два ступені свободи, так як одну координату можна визначити через іншу:

А ось у маятника (мал.71) два ступені свободи, тому що визначається його положення двома незалежними узагальненими координатами. До речі, якщо довжина маятника змінюється, то для визначення положення точки М буде потрібно ще один параметр - узагальнена координата l. довжина нитки. І у маятника стануть три ступені свободи.

Узагальнені координати в загальному випадку будемо позначати буквою q.

Неважко переконатися, що декартові координати n точок системи можна визначити як функції узагальнених координат і часу:

Так у маятника (мал.71) координати точки М

є функції координат l. і, і часу t. якщо l = l (t).

Відповідно, і радіус-вектор точок системи можна визначити як функцію узагальнених координат і часу:

Кожній узагальненої координаті можна обчислити відповідну їй узагальнену силу Qk.

Обчислення робиться за таким правилом.

Щоб визначити узагальнену силу Qk. відповідну узагальненої координаті qk. треба дати цій координаті приріст (збільшити координату на цю величину), залишивши всі інші координати незмінними, обчислити суму робіт всіх сил, прикладених до системи, на відповідних переміщеннях точок і поділити її на приріст координати:

де - переміщення i-тої точки системи, отримане за рахунок зміни k-тої узагальненої координати.

Узагальнена сила визначається за допомогою елементарних робіт. Тому цю силу можна обчислити інакше:

І так як є приріст радіуса-вектора за рахунок збільшення координати при інших незмінних координатах і часу t. відношення можна визначати як приватну похідну. тоді

де координати точок - функції узагальнених координат (5).

Якщо система консервативна, тобто рух відбувається під дією сил потенційного поля, проекції яких, де, а координати точок - функції узагальнених координат, то

Узагальнена сила консервативної системи є приватна похідна від потенційної енергії по відповідній узагальненій координаті зі знаком мінус.

Звичайно, при обчисленні цієї узагальненої сили потенційну енергію слід визначати як функцію узагальнених координат

Перше. При обчисленні узагальнених сил реакції ідеальних зв'язків не враховуються.

Друге. Розмірність узагальненої сили залежить від розмірності узагальненої координати. Так якщо розмірність [q] - метр, то розмірність

= Нм / м = Ньютон, якщо [q] - радіан, то = Нм; якщо [q] = м 2. то і т.п.

Приклад 23. За качати в вертикальній площині стрижня ковзає колечко М вагою Р (ріс.72). Стрижень вважаємо невагомим. Визначимо узагальнені сили.