Усунення невизначеності «одиниця в ступені нескінченність»

Головна | Про нас | Зворотній зв'язок

Дану невизначеність «обслуговує» другий чудовий межа. і в другій частині того уроку ми дуже детально розглянули стандартні приклади рішень, які в більшості випадків зустрічаються на практиці. Зараз картина з експонентами буде завершена, крім того, заключні завдання уроку будуть присвячені пределам- «обманка», в яких ЗДАЄТЬСЯ, що необхідно застосувати 2-ий чудовий межа, хоча це зовсім не так.

Недолік двох робочих формул 2-го чудового краю полягає в тому, що аргумент повинен прагнути до «плюс нескінченності» або до нуля. Але що робити, якщо аргумент прагне до іншого числа?

На допомогу приходить універсальна формула (яка насправді є наслідком другого чудового краю):

Невизначеність можна усунути за формулою:

Десь на зразок вже пояснював, що позначають квадратні дужки. Нічого особливого, дужки як дужки. Зазвичай їх використовують, щоб чіткіше виділити математичну запис.

Виділимо істотні моменти формули:

1) Мова ідёттолько про визначеності і ніякий інший.

2) Аргумент «ікс» може прагнути до довільного значенням (а не тільки до нуля або), зокрема, до «мінус нескінченності» або до будь-якого кінцевого числа.

За допомогою цієї формули можна вирішити всі приклади уроку Чудові межі. які відносяться до 2-го чудовому межі. Наприклад, обчислимо межа:

В даному випадку . і за формулою:

Правда, робити так не раджу, в традиціях все-таки застосовувати «звичайне» оформлення рішення, якщо його можна застосувати. Однак за допомогою формули дуже зручно виконувати перевірку «класичних» прикладів на 2-ий чудовий межа.

Все це добре, правильно, але зараз в кадрі більш цікаві кадри:

На першому кроці, чи не втомлюся повторювати, підставляємо значення «ікс» в вираз під знаком межі. А раптом ніякої невизначеності взагалі немає? Так буває! Але не цього разу. Підставляючи «трійку», приходимо до висновку, що тут невизначеність

Щоб не тягати за собою букву «е» і не дрібнити, показник зручніше обчислити окремо:

В даному випадку:

З точки зору техніки обчислень все рутинно: спочатку наводимо перший доданок до спільного знаменника, потім виносимо константи і проводимо скорочення, позбавляючись від невизначеності 0: 0.

Обіцяний подарунок з різницею логарифмів і невизначеністю:

(1) - (2) На перших двох кроках використовуємо формули. У складних похідних ми «розвалюємо» логарифми, а тут, навпаки - їх потрібно «зібрати».

(3) Значок межі переміщаємо під логарифм. Це можна зробити, оскільки даний логарифм безперервний на «мінус нескінченності». Крім того, межа ж відноситься до «начинки» логарифма.

(4) - (5) Стандартним прийомом, розглянутим на базовому уроці про чудові межі. перетворимо невизначеність до виду.

(6) Використовуємо формулу.

(7) Експоненціальна і логарифмічна функція - взаємно зворотні функції, тому і «е» і логарифм можна прибрати. Дійсно, відповідно до властивості логарифма:. Мінус перед дробом вносимо в знаменник:

Розглянутий тип межі не такий рідкісний, прикладів 30-40 у себе знайшов.

Це приклад для самостійного рішення. Крім використання формули, можна уявити межа у вигляді і заміною звести рішення до випадку.

На закінчення розглянемо предели- «фальшивки».

Повернемося до невизначеності. Дану невизначеність далеко не завжди можна звести до невизначеності і скористатися 2-х чудовим межею або формулою-наслідком. Перетворення можна здійснити в тому випадку, якщо чисельник і знаменник підстави ступеня - еквівалентні нескінченно великі функції. На приклад:.

Відвернемося від показника і обчислимо межа підстави:

У межі отримана одиниця. значить, чисельник і знаменник не просто одного порядку зростання, а ще й еквівалентні. На уроці Чудові межі. Приклади рішень ми без проблем звели даний приклад до невизначеності і отримали відповідь.

Аналогічних меж можна придумати дуже багато:
і т.д.

Дробу даних прикладів об'єднує вищевказана особливість:. В інших випадках при неопределённості2-ой чудовий межа не застосовують.

Як не старайся, а невизначеність не вдасться перетворити в невизначеність

Тут числители і знаменники підстав одного порядку зростання, але не еквіваленти. .

Таким чином, 2-ий чудовий межа і, тим більше формулу, ПРИМЕНИТЬ МОЖНА.

! Примітка: не плутайте з Прикладом №18, в якому чисельник і знаменник підстави не еквівалентні. Там готова невизначеність. тут же мова йде про невизначеності.

Метод рішення пределов- «підробок» простий і знак: потрібно чисельник і знаменательоснованія розділити на «ікс» в старшій ступеня (незважаючи на показник):

Якщо чисельник і знаменник підстави різного порядку зростання, то прийом рішення точно такий же:

Це короткі приклади для самостійного вивчення

Іноді невизначеності може не бути взагалі:

Подібні фокуси особливо улюблені укладачами збірки Кузнєцова. Ось чому дуже важливо ЗАВЖДИ на першому кроці виконувати підстановку «ікси» в вираз під знаком межі!

приклад 2

Старша ступінь чисельника: 2; старша ступінь знаменника: 3.
Розділимо чисельник і знаменник на:

приклад 4

Розділимо чисельник і знаменник на:

Примітка: найостаннішим дією помножили чисельник і знаменник на, щоб позбутися від ірраціональності в знаменнику.

приклад 8

Розділимо чисельник і знаменник на:

Примітка: слагаемоестреміться до нуля повільніше, ніж, поетомуявляется «головним» нулем знаменника.

приклад 22

Примітка: нескінченно мала функціястремітся до нуля повільніше, ніж, тому «більш великий» нуль знаменника відіграє визначальну роль: