Урок «перехресні прямі»

ТЕКСТОВА Розшифровка УРОКУ:

Вам вже відомі два випадки взаємного розташування прямих у просторі:

Згадаймо їх визначення.

Визначення. Прямі в просторі називаються пересічними, якщо вони лежать в одній площині і мають одну спільну точку

Визначення. Прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не мають спільних точок.

Загальним для цих визначень є те, що прямі лежать в одній площині.

У просторі так буває не завжди. Ми можемо мати справу з декількома площинами, і не всякі дві прямі будуть лежати в одній площині.

Наприклад, ребра куба ABCDA1B1C1D1

AB і A1D1 лежать в різних площинах.

Визначення. Дві прямі називаються перехресними, якщо не існує такої площини, яка б проходила через ці прямі. З визначення зрозуміло, що дані прямі не перетинаються і не паралельні.

Доведемо теорему, яка виражає ознаку перехресних прямих.

Теорема (ознака перехресних прямих).

Якщо одна з прямих лежить в деякій площині, а інша пряма перетинає цю площину в точці яка не належить цій прямій, то ці прямі перехресні.

Пряма AB лежить в площині α. Пряма CD перетинає площину α в точці С, яка не належить прямій АВ.

Довести, що прямі AB і DC - схрещуються.

Доказ будемо вести методом від противного.

Припустимо, АВ і CD лежать в одній площині, позначимо її β.

Тоді площину β проходить через пряму AB і точку C.

За слідству з аксіом, через пряму AB і не лежить на ній крапку C можна провести площину, і притому тільки одну.

Але у нас вже є така площина - площина α.

Отже, площини β і α збігаються.

Але це неможливо, тому що пряма CD перетинає α, а не лежить в ній.

Ми прийшли до протиріччя, отже, наше припущення невірно. AB і CD лежать в

різних площинах і є перехресними.

Отже, можливі три способи взаємного розташування прямих у просторі:

А) Прямі перетинаються, тобто мають тільки одну спільну точку.

Б) Прямі паралельні, тобто лежать в одній площині і не мають спільних точок.

В) Прямі схрещуються, тобто чи не лежать в одній площині.

Розглянемо ще одну теорему про перехресних прямих

Теорема. Через кожну з двох перехресних прямих проходить площину, паралельна інший прямий, до того ж лише одна.

АВ і CD - перехресні прямі

Довести, що існує площина α така, що пряма AB лежить в площині α, а пряма CD паралельна площині α.

Доведемо існування такої площини.

1) Через точку A проведемо пряму AE паралельно CD.

2) Так як прямі AE і АВ перетинаються, то через них можна провести площину. Позначимо її через α.

3) Так як пряма CD паралельна AE, а AE лежить в площині α, то пряма CD ∥ площині α (по теоремі про перпендикулярність прямої і площини).

Площина α - шукана площину.

Доведемо, що площина α - єдина, яка задовольнить умові.

Будь-яка інша площина, що проходить через пряму АВ, буде перетинати AE, а значить і паралельну їй пряму CD. Тобто будь-яка інша площина, що проходить через AB перетинається з прямою CD, тому не є їй паралельної.

Отже, площина α - єдина. Теорема доведена.