Урок «багатогранний кут»
ТЕКСТОВА Розшифровка УРОКУ:
У планіметрії одним з об'єктів вивчення є кут.
Кут - це геометрична фігура, що складається з точки - вершини кута і двох променів, що виходять з цієї точки.
Два кута одна сторона, яких загальна і дві інші є продовженням одна одної, в планіметрії називаються суміжними.
Циркуль можна розглядати як модель плоского кута.
Згадаймо поняття двухгранний кута.
Це фігура, утворена прямий чи двома півплощини з спільним кордоном а, що не належать одній площині в геометрії називається двогранним кутом. Напівплощини - це межі двогранного кута. Пряма а - це ребро двогранного кута.
Дах будинку наочно демонструє двухгранний кут.
Але дах будинку на малюнку два виконана у вигляді фігури утвореної з шести плоских кутів із загальною вершиною так, що кути беруться в певному порядку і кожна пара сусідніх кутів, включаючи перший і останній, має загальну сторону. Як називається така форма даху?
В геометрії фігура, складена з кутів
А1ОА2, А2ОА3 і так далі АnОА1 і їх внутрішніх областей так, що суміжне лежать в одній площині, а не суміжні кути (з їх внутрішніми областями) не мають спільних точок називається багатогранний кут ОА1А2 А3 ... Аn.
А кути у тому числі складено цей кут називаються плоскими кутами. Сторони плоских кутів називаються ребрами багатогранного кута. Точка О називається вершиною кута.
Приклади багатогранних кутів можна знайти в тетраедра і паралелепіпеда.
Грані тетраедра DBA, ABC, DBC утворюють багатогранний кут ВADC. Найчастіше він називається тригранного кутом.
У паралелепіпеді межі АА1D1D, ABCD, AA1B1B утворюють тригранний кут AA1DB.
Ну а дах будинку виконана в формі шестигранного кута. Вона складається з шести плоских кутів.
Для багатогранного кута справедливий ряд властивостей. Сформулюємо їх і доведемо. Тут йдеться про те, що твердження
По-перше, для будь-якого опуклого багатогранного кута існує площину, яка перетинає всі його ребра.
Розглянь для доказу багатогранний кут ОА1А2 А3 ... Аn.
За умовою він опуклий. Кут називається опуклим, якщо він лежить по одну сторону від площини кожного зі своїх плоских кутів.
Так як за умовою цей кут опуклий, то точки О, А1, А2, А3, Аn лежать по одну сторону від площини ОА1А2
Проведемо середню лінію KM трикутника ОА1А2 і виберемо з ребер ОА3, ОА4, ОАn то ребро яке утворює з площиною ОКМ, найменший двогранний кут. Нехай це буде ребро ОАi. (Оа ітое)
Розглянемо напівплощина α з кордоном КМ, ділить двогранний кут ОКМАi на два двухгранних кута. Всі вершини від А до Аn лежать по одну сторону від площини α, а точка О по іншу сторону. Отже, площина α перетинає все ребра багатогранного кута. Затвердження доведено.
Опуклі багатогранні кути мають ще однією важливою властивістю.
Сума плоских кутів опуклого багатогранного кута менше 360 °.
Розглянемо опуклий багатогранний кут з вершиною в точці О. В силу доведеного твердження існує площину, яка перетинає всі його ребра.
Проведемо таку площину α, нехай вона перетинає ребра кута в точках А1, А2, А3 і так далі Аn.
Площина α від зовнішньої області плоского кута буде відсікати трикутник. Сума кутів якого 180 °. Отримаємо, що сума всіх плоских кутів від А1ОА2 до АnОА1 дорівнює висловом перетворимо, цей вислів перегруппіруем складові, отримаємо
В даному вираженні суми зазначені в дужках, є сумами плоских кутів тригранного кута, а як відомо вони більше третього плоского кута.
Дане нерівність можна записати для всіх тригранних кутів утворюють даний багатогранний кут.
Отже, отримаємо наступне продовження рівності
Отримана відповідь доводить, що сума плоских кутів опуклого багатогранного кута менше 360 градусів.