урок 6

У цьому уроці ми, нарешті, переходимо до теми, яка становить ядро ​​будь-якого міркування і будь-якої логічної системи - умовиводів. У четвертому уроці ми говорили, що міркування - це сукупність суджень або висловлювань. Очевидно, що таке визначення не повно, адже воно нічого не говорить про те, чому раптом якісь різні висловлювання виявилися поруч. Якщо дати більш точне визначення, то міркування - це процес обґрунтування будь-якого висловлювання з допомогою його послідовного виведення з інших висловлювань. Цей висновок найчастіше здійснюється у формі умовиводів.

Умовивід - це безпосередній перехід від одного або декількох висловлювань А1. А2. ..., Аn до висловлення В. А1. А2. ..., Аn називають посилками. Посилка може бути одна, їх може бути дві, три, чотири, в принципі - хоч греблю гати. У посилках міститься відома нам інформація. В - це висновок. У висновку знаходиться вже нова інформація, яку ми отримали з посилок за допомогою спеціальних процедур. Ця нова інформація вже містилася в посилках, але в прихованому вигляді. Так ось завдання умовиводи зробити це приховане явним. Крім того, іноді посилки називають аргументами, а висновок - тезою, а сам умовивід в цьому випадку називають обґрунтуванням. Різниця між висновком і обгрунтуванням полягає в тому, що в першому випадку, ми не знаємо, до якого висновку ми прийдемо, а в другому - теза нам вже відомий, ми просто хочемо встановити його зв'язок з посилками-аргументами.

В якості ілюстрації умовиводи можна взяти міркування Еркюля Пуаро з «Вбивства в східному експресі» Агати Крісті:

Перебравши в розумі ще раз свідчення пасажирів, я прийшов до вельми цікавих результатів. Для початку візьмемо свідчення містера Маккуїна. Перша бесіда з ним не викликала у мене ніяких підозр. Але під час другої він кинув небезінтересну фразу. Я повідомив йому, що ми знайшли записку, в якій згадується про справу Армстронг. Він сказав: «А хіба ...» - осікся і, помовчавши, додав: «Ну це саме ... невже старий вчинив так необачно? ...»

Але я відчув, що він перебудувався на ходу. Припустимо, він хотів сказати: «А хіба її не спалили?» Отже, Маккуїн знав і про записку, і про те, що її спалили, або, кажучи іншими словами, він був вбивцею або пособником вбивці.

Логіки записують умовиводи наступним чином:

Над рисою розташовуються посилки, під рискою - висновок, а сама риса позначає відношення логічного слідування.

Критерії істинності умовиводів

Також як і для суджень, для умовиводів існують певні умови їх істинності. При визначенні, справжнє умовивід або помилкове, потрібно звертати увагу на два аспекти. Перший аспект - це істинність посилок. Якщо хоча б одна з посилок помилкова, то і зроблений висновок теж буде хибним. Оскільки висновок - це та інформація, яка була прихована в посилках і яку ми просто витягли на світло, то з невірних посилок неможливо випадково отримати вірний висновок. Це можна порівняти зі спробою зробити біфштекс з моркви. Напевно, моркви можна додати колір і форму біфштекса, але всередині все одно буде морква, а не м'ясо. Ніякі кулінарні операції НЕ перетворять одне в інше.

Другий аспект - це правильність самого умовиводи з точки зору його логічної форми. Справа в тому, що істинність посилок - це важливе, але недостатня умова для того, щоб висновок був правильним. Нерідкі ситуації, коли посилки істинні, але висновок невірно. Як приклад неправильного умовиводу при істинності посилок можна привести умовивід голубки з «Аліси в країні чудес» Керролла. Голубка звинувачує Алісу, в тому, що вона не змія. Ось як вона приходить до цього висновку:

Змії їдять яйця.
Дівчата їдять яйця.
Значить, дівчинки - це змії.

Хоча посилки правильні, висновок абсурдно. Умовивід в цілому зроблено невірно. Щоб уникнути подібних помилок, логіки виявили такі умовиводи, логічні форми яких при істинності посилок гарантують істинність висновку. Їх прийнято називати правильними висновками. Таким чином, щоб умовивід було зроблено вірно, потрібно стежити за істинністю посилок і за правильністю самої форми умовиводи.

Ми розглянемо різні форми правильних висновків на прикладі силлогистики. У цьому уроці ми розберемо найпростіші однопосилочние ув'язнення. У наступному уроці - більш складні висновки: силогізми, ентимеми, многопосилочние ув'язнення.

Умовиводи по логічному квадрату

Почнемо з відносин підпорядкування. Ми вже стикалися з ними в четвертому уроці, коли розглядали умови істинності для приватно-стверджувальних і приватно-негативних висловлювань. Ми говорили, що з висловлювання «Всі S є P» буде логічним вивести висловлювання «Деякі S є P», а з висловлювання «Жоден S не є P» - «Деякі S не є P». Таким чином, можливі наступні типи умовиводів:

• Всі S є P
• Деякі S є P
• Всі птахи мають дзьоб. Отже, деякі птахи мають дзьоб.
• Жоден S не є P
• Деякі S не є P
• Жоден гусак не хоче бути спійманий і засмажений. Отже, деякі гуси не хочуть бути спійманими і зажареними.

Крім того, за правилом контрапозиции з відносин підпорядкування можна вивести ще два правильних умовиводи. Правило контрапозиции - це логічний закон, який говорить: якщо з висловлювання А слід висловлювання В, то з висловлювання «невірно, що В» буде слідувати висловлювання «невірно, що А». Ви можете спробувати перевірити цей закон за допомогою таблиці істинності. Отже, будуть вірні і наступні висновки по контрапозиции:

• Невірно, що деякі S є P
• Невірно, що всі S є P
• Невірно, що деякі автомобілі не мають коліс. Тому невірно, що всі автомобілі не мають коліс.
• Невірно, що деякі S не є P
• Невірно, що всі S не є P
• Невірно, що деякі вина не є спиртними напоями. Таким чином, невірно, що все вина не є спиртними напоями.

Згідно із законом контрарного протиріччя будуть істинними наступні види умовиводів:

• Всі S є P
• Невірно, що жоден S не є P
• Всі яблука - це фрукти. Отже, невірно, що ні одне яблуко не є фруктом.
• Жоден S не є P
• Невірно, що всі S є P
• Жоден кит не вміє літати. Тому невірно, що все кити вміють літати.

Відносини субконтрарності (подпротівоположності) означають, що висловлювання типу «Деякі S є P» і «Деякі S не є P» не можуть бути одночасно хибними, хоча можуть бути одночасно істинними. На цій підставі може бути сформульований закон субконтрарность виключеного третього: Деякі S не є P або Деякі S є P.

• Згідно з цим законом правильними будуть наступні висновки:
• Невірно, що деякі S є P
• Деякі S не є P
• Невірно, що деякі продукти корисні для здоров'я. Тому деякі продукти не корисні для здоров'я.
• Невірно, що деякі S не є P
• Деякі S є P
• Невірно, що деякі учні з нашого класу не є двієчниками. Таким чином, деякі учні з нашого класу є двієчниками.

Відносини протиріччя (контрадікторності) говорять про те, що висловлювання, що знаходяться в них, не можуть бути одночасно істинними або помилковими. На підставі цих відносин можна сформулювати два закони суперечності і два закони виключеного третього. Перший закон протиріччя: Невірно, що всі S є P і деякі S не є P. Другий закон протиріччя: Невірно, що жоден S не є P і деякі S є P. Перший закон виключення третього: Всі S є P або деякі S НЕ є P. Другий закон виключення третього: Жоден S не є P або деякі S є P.

На цих законах будуються умовиводи наступних видів:

• Всі S є P
• Невірно, що деякі S не є P
• Всі діти потребують турботи. Отже, невірно, що деякі діти не потребують турботи.
• Деякі S не є P
• Невірно, що всі S є P
• Деякі книги не є нудними. Тому, невірно, що все книги є нудними.
• Невірно, що всі S є P
• Деякі S не є P
• Невірно, що всі співробітники нашої фірми старанно працюють. Таким чином, деякі співробітники нашої фірми не працюють усередині.
• Невірно, що деякі S не є P
• Всі S є P
• Невірно, що деякі зебри не мають смужок на шкірі. Отже, все зебри мають смужки на шкірі.
• Жоден S не є P
• Невірно, що деякі S є P
• Жодна картина в цьому залі не відноситься до XX століття. Тому невірно, що деякі картини в цьому залі відносяться до XX століття.
• Деякі S є P
• Невірно, що жоден S не є P
• Деякі студенти займаються спортом. Таким чином, невірно, що жоден студент не займається спортом.
• Невірно, що жоден S не є P
• Деякі S є P
• Невірно, що жоден учений не цікавиться мистецтвом. Отже, деякі вчені цікавляться мистецтвом.
• Невірно, що деякі S є P
• Жоден S не є P
• Невірно, що деякі коти курять сигари. Таким чином, жоден кіт не курить сигари.

Як ви, швидше за все, помітили у всіх цих умовиводах, висловлювання над рисою і під рискою несуть одну і ту ж інформацію, просто подану в різній формі. Важлива деталь полягає в тому, що сенс одних з цих висловлювань сприймається легко і інтуїтивно, в той час як сенс інших темний, і над ними часом доводиться поламати голову. Наприклад, сенс стверджувальних висловлювань сприймається легше, ніж сенс негативних висловлювань, зміст висловлювань з один запереченням більш зрозумілий, ніж сенс висловлювань з двома запереченнями. Таким чином, основне призначення умовиводів по логічному квадрату полягає в тому, щоб привести складні для сприйняття, незрозумілі висловлювання до найбільш простій і зрозумілій формі.

операція звернення

Ще одним видом однопосилочних умовиводів є звернення. Це такий тип умовиводів, при яких суб'єкт посилки збігається з предикатом висновку, а суб'єкт висновку збігається з предикатом посилки. Грубо кажучи, в ув'язненні S і P просто міняються місцями.

Перш ніж перейти до висновків через звернення, побудуємо таблицю істинності для висловлювань, в яких P встане на місце суб'єкта, а S - на місце предиката.

Порівняйте її з тієї таблицею, яку ми будували в минулому уроці. Звернення, як і інші умовиводи, може бути правильним, тільки коли посилка і висновок одночасно істинними. При порівнянні двох таблиць, ви побачите, що таких комбінацій не так вже й багато.

Отже, існує два види поводження: чисте і з обмеженням. Чисте звернення відбувається тоді, коли кількісна характеристика не змінюється, тобто якщо в посилці було слово «все», то і в ув'язненні теж буде слова «все» / «ні один», якщо в посилці слово «деякі», то і в ув'язненні «деякі. Відповідно, при поводженні з обмеженням кількісна характеристика змінюється: були «все», а стали «деякі». Для висловлювань на кшталт «Жоден S не є P» і «Деякі S є P» правильним буде таке чисте звернення:

• Жоден S не є P
• Жоден P не їсти S
• Жодна людина не може вижити без повітря. Отже, жодна жива істота, здатне вижити без повітря, не є людиною.
• Деякі S є P
• Деякі P є S
• Деякі змії отруйні. Тому, деякі отруйні істоти - це змії.
• Для висловлювань на кшталт «Всі S є P» і «Жоден S не є P» вірно поводження з обмеженням:
• Всі S є P
• Деякі P є S
• Всі пінгвіни - це птахи. Таким чином, деякі птахи - це пінгвіни.
• Жоден S не є P
• Деякий P не їсти S
• Жоден крокодил не їсть зефір. Отже, деякі істоти, едящие зефір, не є крокодилами.
• Висловлювання типу «Деякі S не є P» взагалі не звертаються.

Хоча звернення, як і умовиводи по логічному квадрату, це однопосилочние умовиводи, і ми точно також витягаємо всю нову інформацію з наявною посилки, посилку і висновок в них вже не можна назвати просто різними формулюваннями однієї і тієї ж інформації. Отримана інформація відноситься вже до іншого суб'єкта, а тому вона вже не здається такою очевидною.

Отже, в цьому уроці ми почали розглядати правильні види умовиводів. Ми поговорили про найпростіших однопосилочних умовиводах: умовиводах по логічному квадрату і умовиводах через звернення. Хоча ці висновки досить прості і навіть десь тривіальні, люди повсюдно роблять в них помилки. Зрозуміло, що складно утримати в пам'яті всі види правильних висновків, тому, коли ви будете виконувати вправи або зіткнетеся з необхідністю перевірити чи зробити однопосилочное умовивід в реальному житті, не бійтеся вдаватися до допомоги модельних схем і таблиць істинності. Вони допоможуть вам перевірити, чи завжди при істинності посилок висновок теж справжнє, а це головне для правильного умовиводи.

Гра "Підбери ключ"

Перевірте свої логічні навички. У даній грі вам необхідно за мінімальний час і мінімальне число кроків (спроб) визначити шифр, що складається в залежності від рівня складності з 3-6 символів. Після кожної спроби система показує вам число цифр стоять на своєму місці, число вгаданих не на своєму місці цифр.

У грі ведеться запис введених вами шифрів і їх результатів: перший стовпець показує число цифр, що стоять на своєму місці, другий - підходящих цифр, але не на своєму місці, і далі йдуть ваші коди.

вправи

Зробіть всі можливі висновки з наступних висловлювань по логічному квадрату:

• Всі ведмеді на зиму залягають в сплячку.
• Невірно, що всі люди заздрісні.
• Жоден гном не досягає зростання в два метри.
• Невірно, що жодна людина не був на Північному полюсі.
• Деякі люди ніколи не бачили снігу.
• Деякі автобуси ходять за розкладом.
• Невірно, що деякі слони літали на місяць.
• Невірно, що деякі птахи не мають крил.

Зробіть поводження з тими, висловлюваннями, з якими це можливо:

• Ніхто ще не побудував машину часу.
• Деякі офіціанти дуже настирливі.
• Всі професіонали досвідчені в своїй справі.
• Деякі книги не мають твердої обкладинки.

Перевірте, чи правильно зроблені наступні висновки:

• Деякі кролики не носять білі рукавички. Отже, деякі кролики носять білі рукавички.
• Невірно, що ніхто не був на Місяці. Таким чином, деякі люди були на Місяці.
• Всі люди смертні. Тому всі смертні - це люди.
• Деякі птахи не вміють літати. Отже, деякі істоти, які не вміють літати, це птахи.
• Жоден ягня не має пристрасті до віскі. Отже, жодна істота, що має пристрасть до віскі, не є ягням.
• Деякі морські тварини ссавці. Таким чином, невірно, що жодне морське тварина не є ссавцем.

Перевірте свої знання

Якщо ви хочете перевірити свої знання з теми даного уроку, можете пройти невеликий тест, що складається з декількох питань. У кожному питанні правильним може бути тільки 1 варіант. Після вибору вами одного з варіантів, система автоматично переходить до наступного питання. На одержувані вами бали впливає правильність ваших відповідей і витрачений на проходження час. Зверніть увагу, що питання щоразу різні, а варіанти перемішуються.

← 5 Закони та суперечності 7 Силогізми →