Трапеція рішення задач з геометрії, геометрія

Трапеція рішення задач з геометрії.

Трапеція рішення задач з геометрії, геометрія
Доброго дня любі друзі! Сьогодні у нас тема - трапеція рішення задач з геометрії. Перш ніж починати розбирати завдання, давайте згадаємо, що таке трапеція, і які у неї є елементи.
Трапеція - опуклий чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші - не паралельні.
Паралельні сторони називають підставами, а непаралельних - бічними сторонами.
Трапеції бувають прямокутні, рівнобедрені і прості.
У прямокутних трапеції є 2 прямих кута.
У рівнобедрених трапеції, як в рівнобедрених трикутниках, кути при підставах дорівнюють, рівні так само і бічні сторони.
У трапеції є середня лінія, яка з'єднує середини бічних сторін.
А тепер завдання.
Трапеція рішення задач з геометрії, геометрія
Завдання 1. Гострий кут рівнобедреної трапеції дорівнює 60 °. Довести, що підстава ВС = AD - AB.
Доведення. Опустимо з вершин трапеції висоти BM і CN на нижню підставу AD.
Отримаємо два прямокутних трикутника ABM і DCN, а також прямокутник BCNM.
Оскільки в прямокутних трикутниках один кут дорівнює 60 °, то другий, згідно слідству з теореми про суму внутрішніх кутів трикутника, дорівнює 30 °.
А ми знаємо, що катет, що лежить проти кута в 30 °, дорівнює половині гіпотенузи. Тобто АМ = с / 2.
Те ж саме і в правому трикутнику - ND = с / 2.
Виходить, що нижня частина можна представити у вигляді суми трьох відрізків, а саме AM, MN, ND, де AM = ND = c / 2.
MN = BC, або верхньому основи.
Звідси можна написати MN = BC = AD - AM - ND = AD - c / 2 - c / 2 = AD - AB.
Ми довели, що верхнє підставу дорівнює різниці нижньої основи і бічної сторони.
Трапеція рішення задач з геометрії, геометрія
Завдання 2. Підстави трапеції рівні AD і BC. Знайти довжину відрізка KP, який з'єднує середини діагоналей трапеції.
Рішення: На підставі теореми Фалеса відрізок KP належить більшого відрізку MN, який є середньою лінією трапеції.
Середня лінія трапеції. як ми знаємо, дорівнює напів-сумі підстав трапеції. або (AD + BC) / 2.
У той же час, розглядаючи трикутник ACD і його середню лінію KN, можна зрозуміти, що KN = AD / 2.
Розглядаючи інший трикутник BCD і його середню лінію PN, можна побачити, що PN = BC / 2.
Звідси, KP = KN-PN = AD / 2 - BC / 2 = (AD-BC) / 2.
Ми довели, що відрізок, який з'єднує середини діагоналей трапеції, дорівнює напів-різниці підстав даної трапеції.
Трапеція рішення задач з геометрії, геометрія
Завдання 3. Знайти менше підставу ВС рівнобедреної трапеції, якщо висота СK, проведена з кінця C меншого підстави, ділить більшу основу на відрізки AK і KD, різниця яких дорівнює 8 см.
Рішення: Зробимо додаткове побудова. Проведемо висоту ВМ.
Розглянемо трикутники ABM і DCK. Вони рівні за гіпотенузі і катету - AB = CD, як бічні сторони рівнобедреної трапеції.
Висоти трапеції BM і CK теж рівні, як перпендикуляри, розташовані між двома паралельними прямими.
Отже, AM = KD. Виходить, що різниця між AK і KD дорівнює різниці між AK і AM.
А це є відрізок MK. Але MK дорівнює ВС, оскільки BCKM - прямокутник.
Звідси менше підставу трапеції дорівнює 8 см.
Трапеція рішення задач з геометрії, геометрія
Завдання 4. Знайти відношення підстав трапеції, якщо її середня лінія ділиться діагоналями на 3 рівні частини.
Рішення: Оскільки MN - середня лінія трапеції, то вона паралельна основам і ділить бічні сторони навпіл.
По теоремі Фалеса MN ділить також і сторони AC і BD навпіл.
Розглядаючи трикутник АВС можна бачити, що MO в ньому - середня лінія. А середня лінія трикутника паралельна основі і дорівнює його половині. Тобто якщо MO = Х, то ВС = 2Х.
З трикутника ACD маємо ON - середня лінія.
Вона теж паралельна основі і дорівнює його половині.
Але, оскільки OP + PN = Х + Х = 2Х, тоді AD = 4х.
Виходить, що верхнє підставу трапеції одно 2Х, а нижня - 4Х.
Відповідь: відношення підстав трапеції дорівнює 1: 2.
На сьогодні все. Наступного разу ми продовжимо рішення задач з геометрії і алгебри з 7 по 9 клас.

Вам так само буде цікаво:

  • Трапеція рішення задач з геометрії, геометрія
    Геометрія трапеція завдання 8 клас.
  • Трапеція рішення задач з геометрії, геометрія
    Приклади з геометрії 7 клас.
  • Трапеція рішення задач з геометрії, геометрія
    Площа трапеції через висоту і підстава.