Типи диференціальних рівнянь

Розглянемо початкове рівняння:

Перепишемо його у вигляді:
Тоді бачимо, що
Оскільки - безперервні на, то давайте розглянемо і
Ліві частини в цих равенствах рівні, а отже рівні й праві. Необхідність доведена.
Доведемо тепер достатність.
Припустимо, що рівність приватних похідних виконується, тоді розглянемо наступну функцію:

Знайдемо для неї приватні похідні по і:
, а диференціюючи за і враховуючи умову, отримуємо:
. достатність доведена, тому що - загальний інтеграл.

Рішення: Загальне рішення.

[Ред] Рівняння, зазначеного до рівняння в повних диференціалах

в умовах попереднього визначення, але. Домножим (6) на

тільки як вирішувати все одно не зрозуміло.
Але.
Якщо залежить тільки від x або тільки від y, можна висловити її в явному вигляді:

[Ред] Рівняння Бернуллі

рівняння виду, називається рівнянням Бернуллі.

Рішення:

, нехай
лінійне щодо z рівняння.

[Ред] Рівняння Риккати

Рівняння виду, де називається рівнянням Риккати

Рішення:
Нехай приватне рішення рівняння (9), тоді

рівняння (8)

[Ред] Рівняння 1-го порядку не дозволені щодо 1-ї похідної

[Ред] x явно залежить від y '

Рішення:
нехай
Перейдемо до параметричної системі:

[Ред] y явно залежить від y '

Рішення:
нехай
Переходимо до системи:

[Ред] рівняння Лагранжа