Теоретична механіка

Стрижні 3, 7, 11 - називаються стійками. Стрижні 1, 4, 9, 12 - називаються розкосами.

Стрижні, що утворюють замкнутий трикутник, називають панеллю ферми.

Ферма на рис. 56 має 6 панелей.

При розрахунку ферми приймають такі припущення.

1. Всі стрижні ферми прямолінійні і невагомі.

2. Вузли ферми - ідеальні шарніри.

3. Зовнішні сили прикладені до вузлів ферми.

4. Стрижні ферми сприймають тільки поздовжні зусилля: стиснення або розтягнення.

Розрахунок ферми полягає у визначенні опорних реакцій і внутрішніх зусиль в стержнях ферми.

При розрахунку опорних реакцій ферма розглядається як тверде тіло, на яке діє плоска система сил. Розрахунок полягає в складанні розрахункової схеми, складанні рівнянь рівноваги і визначенні невідомих реакцій.

Зусилля в стержнях ферми визначаються:

1. Методом вирізання вузлів.

2. Методом перетинів (методом Ріттера).

При складанні розрахункових схем слід мати на увазі, що якщо стержень розтягнутий, то сила, з якою він діє на вузол, спрямована від вузла до стрижня. Якщо ж стрижень стиснутий, то зусилля направлено до вузла від стрижня (рис. 57).

Теоретична механіка

Метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів полягає в послідовному вирізання вузлів ферми і розгляді їх рівноваги. Так як на вузол діє плоска сходиться система сил, для якої можна записати тільки два рівняння рівноваги, то вирізати вузли треба так, щоб невідомих сил було не більше двох. При складанні розрахункової схеми будемо вважати, що всі стрижні розтягнуті, тобто всі внутрішні зусилля спрямуємо від вузла до стрижня. Для кожного вузла складаються рівняння рівноваги

Якщо зусилля в стрижнях, знайдені за цими формулами, мають знак «+», то формально це вказує на те, що стрижень розтягнутий, якщо ж знак зусилля «-», то стрижень стиснутий.

Метод перерізів (метод Ріттера) полягає в тому, що ферма розтинають на дві частини. Одна частина ферми відкидається, а її дії вона з'являється зусиллями в стрижнях решти, які потрапили в перетин. Зусилля в стрижнях направляються уздовж

Теоретична механіка

стрижнів до відкинутої частини ферми, тобто знову припускаємо, що всі стрижні розтягнуті. Вже згадана частина ферми, на яку діють активні (задані) сили, опорні реакції і зусилля в стержнях, знаходиться в рівновазі. При цьому виходить довільна плоска (не сходить) система сил, для якої можна записати три рівняння рівноваги. Тому невідомих сил в перерізі не повинно бути більше трьох.

Як відомо, існують три форми рівнянь рівноваги для плоскої системи:

При складанні рівнянь рівноваги вибирається та форма, яка дозволяє отримати найбільш прості рівняння. Наприклад, якщо в перерізі дві невідомі сили паралельні, то зручно застосувати 2-ю форму рівнянь. Якщо всі сили в перерізі попарно перетинаються, то 3-ю форму. В цьому випадку точки перетину сил вибираються в якості моментних точок. Отримане таким чином кожне рівняння рівноваги буде містити одну невідому. У порівнянні з методом вирізання вузлів це значно прискорює розрахунок і збільшує точність обчислень.

Якщо в перерізі виявляється більше трьох невідомих зусиль, то доводиться проводити додаткові перетину.

Теоретична механіка

Приклад рішення задачі

На ферму, показану на рис. 58, діють сили F 1 = 1 кН, F 2 = 2 кН і F 3 = 3 кН.

Визначити реакції опор, зусилля в стержнях ферми методом вирізання вузлів. Для зазначених стрижнів перевірити зусилля методом перетинів.

Позначимо всі вузли буквами, а стрижні цифрами. Відкинемо всі опори і замінимо їх дію опорними реакціями N 1. N 2 і N B.

Покажемо координатні осі. Отримана розрахункова схема представлена ​​на рис. 59.

Перевіримо ферму на статичну визначність. Ферма має 6 вузлів і 9 стрижнів, тобто У = 6, С = 9 Підставивши ці значення в формулу С = 2У - 3, отримуємо тотожність 9 = 2 • 6 - 3 = 9. Ферма статично визначена.

Для визначення опорних реакцій скористаємося першою формою рівняння рівноваги для плоскої системи сил.

Σ F kx = N 1 + F 1 - F 2 cos60 0 - N B cos30 0 = 0;

Теоретична механіка

Σ F ky = N 2 - F 2 sin60 o - F 3 - N B sin30 o = 0;

Σ M A (F k) = - F 1 1 tg 60 o + F 2 cos60 o 1 tg 60 o - F 2 sin60 o 4 - - F 3. 4 - N B sin30 o 5 = 0.

N 1 = - F 1 + F 2 cos60 o + N B cos30 o = -1+ 2 0,5 + 7,571 0,866 = = -1 + 1 + 6,557 = 6,557кН.

Теоретична механіка

N 2 = + F 2 sin60 o + F 3 - N B sin30 o = 2 0,866 + 3 - 7,571 0,5 = = 1,732 + 3 - 3,785 = 0,947 кН.

Отже, N 1 = 6, 557 кН, N 2 = 0,947 кН, N B = 7,571 кН.

Тепер визначимо зусилля в стержнях ферми методом вирізання вузлів. Починати вирізання можна з вузла A або вузла B, так як в них невідомі зусилля тільки в двох стрижнях. Почнемо з вузла A. Виріжемо вузол A і розглянемо його рівновагу. На вузол діє сходиться система сил: реакції опор N 1 і N 2. а також зусилля в стержні 1 - S 1 і в стрижні 2 - S 2. Зусилля в стрижнях направляємо від вузла в сторону відповідних стрижнів, тобто ми припускаємо, що ці стрижні розтягнуті. У точці A помістимо початок прямокутної координатної системи Axy. Розрахункова схема для вузла A показана на рис. 60.

У цьому випадку рівняння рівноваги мають вигляд

Σ F kx = N 1 + S 1 cos60 про + S 2 = 0;

Σ F ky = N 2 + S 1 sin60 про = 0.

З другого рівняння знаходимо

Теоретична механіка

S 1 = - sin N 60 2 O = - 0,947 0,866 = -1,093 кН.

З першого рівняння знаходимо

S 2 = - N 1 - S 1 cos60 O = -6,557 - (- 1,093) 0,5 = -6,01 кН.

Знак «-» формально вказує, що обидва стержня стиснуті.

Так як зусилля в стержні 2 знайдено, то можна переходити до вузла C. У цьому випадку невідомі зусилля в стрижнях 3, 4 - S 3. S 4.

Виріжемо вузол C і складемо для нього розрахункову схему також, як це було зроблено для вузла A (рис. 61).

Рівняння рівноваги мають вигляд

Σ F kx = - S 2 '+ S 4 = 0,

Так як S 2 \ = S 2 = -6,01кН. то з рівнянь знаходимо

S 4 = S 2 '= -6,01 кН. S 3 = 0.

Отже, стрижень 4 стиснутий, а в стрижні 3 зусилля немає. Виріжемо вузол D. Розрахункова схема для нього показана на рис. 62.

Невідомими тут є зусилля в стрижнях 5 і 6 - S 5. S 6.

Теоретична механіка

Рівняння рівноваги мають вигляд

Σ F kx = F 1 - S 1 'cos60 0 + S 5 cos30 0 + S 6 = 0,

Σ F ky = - S 1 'sin60 0 - S 3' - S 5 sin30 0 = 0.

Так як S 1 \ = S 1 = -1,093кН. S 3 \ = S 3 = 0. то з рівнянь знаходимо

S 5 = sin30 1 0 (- S 1 'sin60 0 - S 3') = 0,5 1 - (-1,093) 0,866 - 0 = 1,893 кН. S 6 = - F 1 + S 1 'cos60 0 - S 5 cos30 0 =

= -1 + (- 1,093) 0,5 -1,893 0,866 = -3,186 кН.

Стрижень 5 розтягнутий, стрижень 6 стиснутий.

Так як зусилля в стрижнях 4, 5 і 6 знайдені, то можна переходити

Виріжемо вузол E. Розрахункова схема для нього показана на рис. 63. Невідомими тут є зусилля в стрижнях 7 і 9 - S 7. S 9.

Теоретична механіка

Рівняння рівноваги мають вигляд

Σ F kx = - S 4 '- S 5' cos30 0 + S 9 = 0,

Σ F ky = S 5 'sin30 0 + S 7 - F 3 = 0.

Так як S '4 = S 4 = -6,01 кН і S' 5 = S 5 = 1,893 кН. то з рівнянь знаходимо

S 9 = S 4 '+ S 5' cos30 0 = 6,01 + 1,893 0,866 = -4,371 кН. S 7 = F 3 - S 5 'sin30 0 = 3 -1,893 0,5 = 2,054 кН.

Стрижень 7 розтягнутий, а стрижень 9 стиснутий.

Виріжемо вузол H. Розрахункова схема для нього показана на ріс.64. Невідомим тут є зусилля в стрижнях 8 - S 8.

Рівняння рівноваги для цього вузла мають вигляд

Σ F kx = - S 6 '- F 2 cos60 0 + S 8 cos60 0 = 0,

Σ F ky = - S 7 '- S 8 sin60 0 - F 2 sin60 0 = 0.

Так як S '6 = S 6 = -3,186 кН. то з першого рівняння знаходимо

S 7 '= - S 8 sin60 0 - F 2 sin60 0 = - (- 4,372) 0,866 - 2 0,866 = = 2,054 кН.

Теоретична механіка

Зусилля в стержні 7, знайдені під час вирізання вузлів E і H, збіглися.

Вузол B можна використовувати для перевірки виконаного розрахунку. Виріжемо вузол B і розглянемо його рівновагу. Зусилля в стрижнях 8 і 9 вважатимемо невідомими. З рівнянь рівноваги для вузла B визначимо ці зусилля. Якщо вони співпадуть з відповідними зусиллями, знайденими вище, то розрахунок вірний, якщо немає - то слід шукати помилки в попередніх обчисленнях. Розрахункова схема для вузла B показана на рис. 65.

Рівняння рівноваги для вузла B мають вигляд

Σ F kx = - S 9 '- S 8' cos60 0 - N B cos30 0 = 0,

Σ F ky = S 8 'sin60 0 + N B sin30 0 = 0.

Вирішуючи цю систему рівнянь, знаходимо