Теорема з доказом вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається

Теорема 1.Впісанний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається.

Доведення. Вписаний кут по відношенню до центру кола може розташовуватися так, що цей центр лежить: а) на одній зі сторін кута; б) всередині кута; в) поза кута.

а) Нехай центр Q окружності належить стороні кута LMN (рис. 7). Доведемо, що величина кута LMN дорівнює поло-вини градусної міри дуги LN.

Кут LQN як зовнішній кут трикутника LQM дорівнює сумі кутів LMQ і QLM, Але ці кути рівні між собою як кути при основі рівнобедреного трикутника LMQ.

Значить,, або. Посколь-ку градусні заходи центрального кута LQN і дуги LN рівні, то градусна міра в два рази меншого вписаного кута дорівнює

половині градусної міри дуги LN:

б) Нехай центр Q окружності лежить всередині кута LMN (рис. 8). Доведемо, що величина кута LMN дорівнює половині градусної міри дуги LN.

Проведемо діаметр MP. Тоді промінь MP розіб'є кут LMN на два кута LMP і PMN, в кожному з яких одна сторона проходить через центр. Використовуючи доведене в а), отримаємо:

Отримали, що, як і в попередньому випадку, градусна міра кута LMN дорівнює половині градусної міри дуги LN.

в) Нехай центр Q окружності лежить поза кута LMN (рис. 9). Доведемо, що величина кута LMN і в цьому випадку дорівнює половині градусної міри дуги LN.

Проведемо діаметр MP. Тоді кут LMN дорівнює різниці кутів LMP і NMP, в кожному з яких одна сторона про-ходить через центр. Використовуємо доведене в а) і отримаємо:

Отримали, що і в цьому випадку градусна міра кута LMN дорівнює половині градусної міри дуги LN.

Таким чином, градусна міра вписаного кута дорівнює по-Ловін градусної міри дуги, на яку цей кут спирається.

Слідство 1.Впісанние кути, які спираються на одну ду-гу, рівні.

Слідство 2.Впісанний кут, що спирається на діа-метр, є прямим.