Теорема про рівність нулю дивергенції ротора

Теорема. Для будь-якого двічі дифференцируемого векторного поля A поле ротора A є соленоїдом:

Доказ 1. Нехай на малий контур L натягнута деяка поверхню S. показана на малюнку 1.

Мал. 1. При стягуванні контуру L в точку межа поверхні зникає, а поверхня стає замкненою.

Якщо векторне поле A звичайно в області, обмеженою контуром L. то циркуляція A по контуру L прагне до нуля в міру стягування контуру в точку. Тоді по теоремі Стокса

Згідно з теоремою Остроградського-Гаусса, потік векторного поля через замкнену поверхню дорівнює потрійному інтегралу від дивергенції цього поля. отже,

З причини довільності області інтнгрірованія рівність нулю інтеграла тягне за собою рівність нулю підінтегральної функції в будь-якій точці простору.
Таким чином, для будь-якого векторного поля A

Доказ 2. Виберемо довільну замкнуту гладку поверхню S і оточимо її контуром, зображеним на малюнку 2.

Мал. 2. Поверхня S. оточена замкнутої кривої L.

Циркуляція векторного поля A по контуру L дорівнює нулю, що відповідно до теореми Стокса тягне рівність нулю потоку ротора A через замкнуту поверхню S. Тоді - в силу теореіи Остроградського-Гаусса - дорівнює нулю і потрійний інтеграл від дивергенції ротора A по області, обмеженою поверхнею S.

Перегруповуючи складові, отримаємо

Якщо векторне поле A і його приватні похідні є безперервними функціями, то змішані проізиоднве не залежить від порядку диференціювання і, отже,