Теорема 4 (другий остаточний признак екстремуму)

Теорема 4 (другий остаточний признак екстремуму). Якщо в оточенні точки друга похідна неперервна, причому. а, то функція має в точці максимум, коли, і мінімум, коли.

Доведення . Нехай. Беручи до уваги безперервність, існує деякий оточення точки, в якому. Тому в цьому оточенні функція буде спадною, тому що її похідна - - негативна. Але при, отже, при переході (зліва направо) через точку функція змінює знак з плюса на мінус. А це означає, що в точці функція має максимум.

Аналогічно доводиться, що, коли і, то - мінімум функції.

Якщо ж в деякій критичній точці, то друге правило не застосовується і дослідження слід проводити за допомогою першої похідної (спираючись на теорему 3).

Приклад 3. Дослідити на максимуми і мінімуми.

1. 
   Знаходимо похідну.
   
2. 
   Прирівнюємо до нуля і знаходимо її коріння, тобто критичні точки
   

1. 
   Обчислюємо другу похідну
   

1. 
   Підставляючи у вираз другої похідної знайдені коріння першої похідної, отримаємо (правило не застосовується), (максимум), (мінімум).
   

Через те, що при, вдаємося до першого правилом. Маємо при, при (але).

Похідна не змінює знака, екстремуму в точці немає.

За допомогою теорії максимумів і мінімумів функції вирішуються численні завдання з геометрії, економіки, механіки та з інших наук.

4.3. Знаходження найменшого та найбільшого значень

Зупинимося на питанні про знаходження найменшого і найбільшого значень функції, неперервної на відрізку [a; b]. По теоремі Вейерштрасса (див. Гл. 7, §1) така функція обов'язково придбає ці значення в деяких точках [a; b]. Це можуть бути як внутрішні точки відрізка, так і його кінці.

Отже, для знаходження найменшого (найбільшого) значення неперервної на [a; b] функції потрібно знайти її локальні екстремуми на (a; b) і порівняти їх із значеннями. Найменша (найбільше) з цих значень і буде найменшим (найбільшим) значенням функції на відрізку [a; b].

Може статися, що функція на (a; b) зовсім не має точок екстремуму. У цьому випадку її найменше (найбільше) значення буде серед значень і.

При практичній роботі слід мати на увазі, що оскільки найменше (найбільше) значення досягається в критичних точках або на кінцях відрізка, то не потрібно перевіряти достатні умови наявності екстремуму функції в критичних точках. Досить лише знайти значення функції у всіх критичних точках і порівняти їх із значеннями,. Найменша (найбільше) з них і буде найменшим (найбільшим) значенням функції на [a; b].

Приклад 4. З пункту А, який лежить на лінії прямолінійної залізниці, в пункт В, який знаходиться від цієї лінії на відстані, потрібно перевозити вантажі. Вартості перевезення одиниці вантажу на одиницю відстані залізницею і дорогою дорівнюють відповідно m і n. До якої точки М лінії залізниці слід прокласти дорогу, щоб транспортування вантажу з А в В було найбільш економічним?

тоді (рис. 54а). Вартість перевезення k одиниць вантажу по дорозі ВМ складе, залізницею МА - відповідно. Загальна вартість транспонування вантажу

Знайдемо найменше значення цієї функції при.

і прирівнюючи її до нуля, отримаємо рівняння, рішення якого визначає єдину критичну точку. Легко перевірити, що похідна в цій точці змінює знак з мінуса на плюс. Отже, якщо, тобто CM

Прирівнюємо її до нуля і знаходимо стаціонарну точку:

Застосовуючи друге правило, знайдемо другу похідну і отримаємо

Обчислимо значення другої похідної в стаціонарній точці. при маємо

отже, згідно достатньої умови другого типу в точці функція має мінімум

Приклад 11. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку [-2,3].

тобто стаціонарні точки.

Визначаємо значення функції в цих точках.

Обчислюємо значення даної функції на кордонах проміжку:.

З отриманих чотирьох значень вибираємо найбільше і найменше. Отже, найбільше значення функції на заданому відрізку дорівнює 2, а найменше одно -18.

Приклад 12. Знайти точку перегину і інтервали опуклості функції

Δ Знаходимо похідну і другу похідну і будуємо таблицю, враховуючи, що при.

Отже, на проміжку графік функції увігнутий, а на проміжку опуклий. Точка, в якій друга похідна змінює знак з "+" на "-" точка перегину графіка.

Приклад 13. Знайти асимптоти кривих а); б).

а) Досліджувана функція має вертикальну асимптоту. очевидно,

функція має розрив другого роду.

Знаходимо похилу асимптоту:

Отже, є похилій асимптотой кривої

б) Очевидно, вертикальних асимптот крива не має. Якщо. Отже вісь Ох є горизонтальною асимптотой даної кривої. Досліджуємо наявність похилої асимптоти:

Отже, є тільки горизонтальна асимптота.

Приклад 14. Дослідити функцію

І побудувати її графік.

ÿ 1. Область визначення. Функція парна, оскільки і графік її симетричний щодо осі ординат.

2. Вертикальних асимптот немає, оскільки функція визначена при всіх дійсних значеннях х.

Поведінка функції на нескінченності:

В силу парності функції, тобто пряма (вісь абсцис) - горизонтальна асимптота.

3. Екстремуми і інтервали монотонності:

тобто критичні точки.

Таким чином, є точка максимуму, точка мінімуму, точка максимуму.

Функція зростає на інтервалах і і убуває на (-1; 0) і.

4. Інтервали опуклості та угнутості і точки перегину:

Таким чином, функція опукла на інтервалах

і увігнута на інтервалах

а точки перетину.

5.. Рівняння має єдине рішення х = 0, тобто графік функції проходить через початок координат.

Приклад 15. Дослідити функцію

і побудувати її графік.

ÿ 1. Область визначення. Ця функція не є ні парної, ні непарної.

2. Досліджувана функція має вертикальну асимптоту х = 3. очевидно,

отже, в точці х = 3 функція має розрив другого роду. далі

Знаходимо похилу асимптоту.

Отже, y = x + 3 є похилій асимптотой кривої.

3. Обчислимо похідну функції і вирішимо рівняння

Досліджуючи знак похідної, складаємо таблицю