Теорема 2 (друге правило)

Теорема 2 (друге правило).

Якщо для диференціюється f (x) в деякій точці х0 її перша похідна f '(x) дорівнює нулю, а друга похідна f' '(x) існує і відмінно від нуля, т. Е. F' (x0) = 0, f '' (x0) ≠ 0, то в цій точці функція f (x) має екстремум;

якщо f '' (x0)> 0, то f (x0) - мінімум функції f (x), і

якщо f '' (x0) // (x0) ≠ 0, а значить, починаючи з деякого моменту, це величина має знак своєї межі в нашому випадку плюс. тому:

Аналогічно доводимо, що якщо f / (x0) = 0 і f // (x0) 2

Відповідь: функція зростає на

Функція убуває на

§7.Нахожденіе найменшого і найбільшого значень функції на заданому відрізку.

Визначення найменшого і найбільшого значень функції, що диференціюється на заданому відрізку [а; b] рекомендується проводити за наступною схемою:

1) Знайти похідну даної функції;

2) Визначити критичні точки даної функції;

3) З усіх критичних точок відібрати ті, які лежать всередині заданого відрізка;

4) Виписати значення даної функції в відібраних критичних точках;

5) Виписати значення даної функції на кінцях а й b заданого відрізка;

6) Серед всіх зазначених обчислених значень функції визначити найменші і найбільші числа. Вони і є рішеннями поставленого завдання.

Приклад. Знайдіть найменше та найбільше значення функції:

f '(x) = - cos x +2 sinxcosx = cos x (2 sin x-)

на проміжку: а);

Знаходимо критичні точки функції. Оскільки y '(x) = -6x -6x = -6x (x + 1), то є дві критичні точки: x = 0 і x = -1.

а) У проміжку лежить одна з ключових елементів: x = -1.

тому y (-2) = 8, y (-1) = 4, y (-0,5) = 3,5 то найменше значення функції

y (x) = - 2x -3x +4 досягається в точці x = -1 і дорівнює 3, а найбільше

в точці x = -2 і дорівнює 8. Коротко запишемо так:

б) У проміжку дана функція спадає. Тому max y (x) = y (1) = - 1. Найменшого значення в проміжку функція не досягає, тому що точка x = 3 не належить цьому проміжку.

Відрізок з кінцями на сторонах прямого кута містить точку всередині себе, віддалену на відстані 1 і 8 від сторін цього кута.

Знайти найменшу довжину таких відрізків.

Р ешеніем: 1) Нехай ОА = х, ОВ = у

Виходячи з того що

тому АВО прямокутний, то

Знайдемо найменше значення функції = при х> 1

2) Для цього знайдемо похідну

3. Знайдемо критичні точки:

тому в точці х = 5 похідна змінює свій знак з "-" на "+", то це найменше значення.

З кола радіусом R вирізаний сектор і з сектора пліток конус. Який найбільший обсяг вийшов конічної воронки?

пусть- центральний кут сектора

r-радіус підстави конуса

Відповідь: Найбільший обсяг дорівнює.

Прямокутна ділянка землі, що примикає до стіни заводського будівлі, потрібно захистити парканом. Частина забору, паралельна стіні, повинна бути кам'яною, а інша частина дерев'яної. Площа ділянки 90см. Вартість 1м кам'яної огорожі 10руб, а дерев'яного 8руб. Знайдіть такі розміри ділянки, щоб вартість всієї огорожі була найменшою?

Р ешеніем: 1) Нехай вартість оградиfруб.

x (м) - довжина кам'яної частини огорожі, значить, ширина - 90 / х (м),

4) Знайдемо критичні точки:

У точкеx = 12 похідна змінює свій знак з - на +. значить це найменше значення функції і воно єдине в області визначення.

Найменша довжина муру 12 м. А дерев'яною 90/12 = 7,5 м

Відповідь: 12м; 7,5м; 240 руб.

З усіх рівнобедрених трикутників, вписаних в дане коло, знайдіть той, який має найбільшу площу.