Сума і перетин векторних підпросторів »лінійна алгебра

п.4. Сума і перетин векторних підпросторів.

Визначення. Нехай і М - довільні векторні підпростору. Сумою і М називають безліч

Зауваження. Під перетином векторних підпросторів розуміють їх перетин як множин.

Теорема. Сума і перетин векторних підпросторів векторного простору V є векторними підпросторами векторного простору V.

Доведення. Нехай L і М - довільні векторні підпростору векторного простору V, - їх перетин, - їх сума.

1) Нехай - довільні вектори. Тоді, і. В силу замкнутості підпросторів щодо додавання векторів і множення вектора на скаляр,:

звідки випливає, що

тобто є векторним подпространством.

2) 1) Нехай - довільні вектори. тоді,

, , де,. В силу замкнутості підпросторів щодо додавання векторів і множення вектора на скаляр,:

звідки випливає, що

тобто є векторним подпространством.

Теорема. (Про розмірності суми векторних підпросторів.)

Розмірність суми векторних підпросторів дорівнює сумі їх розмірностей мінус розмірність їх перетину:

Доведення. Нехай L і М - довільні векторні підпростору векторного простору V, - їх перетин, - їх сума. позначимо:

Так як очевидні включення:

то і. Нашим завданням є доказ рівності:

Нехай - базис перетину. Так як перетин, то його базис можна доповнити до базису простору L. Нехай

Аналогічно, базис перетину можна доповнити до базису простору М. Нехай

- базис М. Доведемо, що

- базис, звідки і буде слідувати доказувана рівність (2).

Спочатку доведемо, що система векторів (3) є породжує системою підпростору.

Нехай - довільний вектор, де,. Розкладемо вектори х і у за базисами векторних підпросторів L і М:

, тобто система (3) є породжує для векторного підпростору.

Тепер доведемо, що система (3) є лінійно незалежною. нехай

Тоді і, тобто , Отже, вектор х можна розкласти по базису перетину:

звідки випливає рівність:

Так як система є базисом підпростору М, то вона лінійно незалежна, звідки випливає, що. Звідси, в свою чергу випливає, що і

Система є базис підпростору L, тобто лінійно незалежна система, тому,

Таким чином, система (3) представляє нульовий вектор тільки тривіально і, отже, є лінійно незалежної, ч.т.д.

Аналогічно визначається і позначається сума будь-якого кінцевого кількості векторних підпросторів.

Визначення. Нехай - підпростору векторного простору V. Безліч

називається сумою векторних підпросторів.

Як і вище, можна довести, що сума підпросторів векторного простору V теж є векторним подпространством векторного простору V.