статечні середні
Середні величини грають виключно велику роль в статистиці. Середні величини являють собою найбільш поширену форму зведених величин. Вони дають загальну кількісну характеристику елементів масового процесу. Середні величини є як би «представниками» всього ряду спостережень, оскільки навколо них концентруються спостережувані значення ознаки. По суті, середня величина характеризує однорідну сукупність одним числом. Наприклад: середня температура повітря в аудиторії.
Середня володіє тим хорошим властивістю, що в ній погашаються відхилення окремих величин від основного типу.
Середня величина - узагальнююча характеристика досліджуваного ознаки в досліджуваній сукупності. Вона відображає його типовий рівень у розрахунку на одиницю сукупності в конкретних умовах місця і часу.
Умовами застосування середніх величин є: наявність якісно однорідної сукупності і досить великий її обсяг.
Приклад. Робочі бригади мають наступну місячну заробітну плату (табл. 5.1):
Заробітна плата робітників
Потрібно визначити середню місячну зарплату робітників бригади:
Середня зарплата робітника становить 855 грн.
Загальна формула статечної середньої має вигляд:
де - середня статистичної ознаки, а риса - знак символізує
процес осредененія індивідуальних значень;
х - величина, для якої обчислюється середня - осередненою ознака;
m - показник ступеня середньої;
n - кількість спостережень (обсяг сукупності).
Підставляючи різні значення т. отримують різні форми середніх величин.
Середня арифметична (при т = 1) використовується для осереднення прямих значень ознак шляхом їх підсумовування. Її логічна формула має вигляд:
Якщо дані не згруповані, застосовується середня арифметична проста:
де х - окремі значення ознаки;
п - обсяг сукупності.
За формулою середньої арифметичної простої обчислюються також середні в хронологічному ряду. якщо інтервали часу, протягом якого наводяться значення ознак, рівні.
Якщо в хронологічному ряду наведені моментні показники, то для обчислення Середня вони замінюються напівсумі значень на початок і кінець періоду. Якщо моментів більше двох і інтервали між ними рівні, то середня обчислюється за формулою середньої хронологічної простій.
де п - число моментів часу.
Якщо дані згруповані, то використовують середню арифметичну зважену:
Осреднении підлягають не тільки окремі значення варіант, але і їх групові середні, тоді вагою буде частота (частость) кожної групи:
Обчислена таким способом середня з групових середніх називається загальною.
Середня арифметична має певні математичні властивості. розкривають її сутність. Так, сума відхилень окремих варіант від середньої дорівнює нулю, а сума квадратів таких відхилень наближається до мінімуму. Ці дві властивості лежать в основі вивчення варіації ознак.
Якщо окремі значення варіант збільшити (зменшити) на одну і ту ж величину А чи в k раз, то середня зміниться відповідно.
Наприклад, якщо грошові вклади громадян в ощадбанк скорегувати на рівень інфляції, що становить 1,2, то середній розмір вкладу збільшиться відповідно в 1,2 рази.
Середня не зміниться при пропорційній зміні всіх ваг, але її розмір зміниться, якщо відбудуться структурні зрушення.
Наприклад, при незмінній курсової вартості акцій окремих емітентів середня вартість акцій може збільшитися за рахунок збільшення частки "дорогих" акцій в загальній кількості їх продажу.
Зазначені властивості середньої використовують у разі усереднення ознак порядкової (рангової) шкали. Для 3-х бальної шкали варіанти ознаки можна оцифрувати порядковими рангами R = 1, 2, 3 або центрованими R 0 = - 1, 0, 1.
Середній центрований бал відхиляється від середнього порядкового на величину:
Аналітичні можливості середнього центрированного бала ширше, ніж середнього порядкового, тому що може приймати позитивні або негативні значення і свідчить про позитивну або негативну оцінку явища. Крім того, оскільки середній центрований бал не залежить від розмірності шкали, його використовують для порівняння оцінок різних явищ.
Приклад. У таблиці 5.2 наведені дані про ставлення населення до приватизації землі. Визначимо рівень підтримки приватизації землі населенням.
Ставлення населення до приватизації землі
Ставлення до приватизації
Отже, рівень підтримки приватизації землі позитивний, але поки невисокий.
Середня гармонійна (т = - 1) використовується для осереднення індивідуальних значень ознак з зворотних величин шляхом їх підсумовування. Для несгруппірованних даних використовується середня гармонійна проста
Якщо дані згруповані, то використовують середню гармонійну зважену
де wi - обсяг значень ознаки, тобто
Приклад. Визначити середню ціну одиниці продукції, якщо відомі
(Табл. 5.3) такі дані:
Дані про вартість продукції
Середня ціна одиниці продукції дорівнює сумі реалізації поділеній на кількість реалізованих одиниць. Сума реалізації (чисельник) - відома, а кількість реалізованої продукції (знаменник) - невідома. В такому випадку, середню ціну одиниці продукції визначають за формулою середньої гармонійної:
Якби для розрахунку ми використовували середню арифметичну просту, то отримали б невірний результат:
Очевидно, що середню гармонійну зважену доцільно використовувати в тих випадках, коли відсутня інформація про значення знаменника логічної формули, тобто відсутні ваги (коли статистична інформація не містить конкретних частот по окремих варіантів сукупності, а представлена тільки як їх твір).
Розраховувати середню гармонійну зважену можна і в тому випадку, коли окремі значення варіантів не вказані, а відомі лише підсумки (сумарні значення чисельника і знаменника) логічної формули.
Середня геометрична (т = 0) визначається як добуток відносних величин динаміки xij. розрахованих як відношення i -го значення показника до попереднього (i - 1).
Формула середньої геометричної простої
де - символ твори;
- число осередненою величин.
Середня квадратична (т = 2) використовується для характеристики варіації і буде розглядатися в наступній лекції (тема 6).
Приклад. Є цех, в якому працює 100 чоловік. Необхідно визначити середню зарплату одного робітника. Середню зарплату визначимо по логічної формулою:
Випадки використання різних середніх величин.
1. Середня арифметична проста використовується в тому випадку, якщо чисельник і знаменник досліджуваної системи наведено у вихідних даних.
2. Середня арифметична зважена використовується в тому випадку, якщо знаменник досліджуваної системи (логічної схеми) відомий, а чисельник - немає.
3. Середня гармонійна використовується в тому випадку, якщо чисельник досліджуваної схеми наведено у вихідних даних, а знаменник - немає.
4. Середня квадратична використовується тільки при визначенні показників варіації.
5. Середня геометрична використовується тільки при розрахунку среденегодового темпу зростання.
6. Структурні середні використовуються, переважно при визначенні попиту та пропозиції.
Слід врахувати, що різні види середніх величин на одному і тому ж вихідному матеріалі мають неоднакові значення.
Приклад. Бригада з п'яти осіб випускає деталі. При цьому кожен робочий випускає в такій кількості (табл. 5.4):
Випуск деталей робочими