спектр оператора

Нехай A - оператор, який діє в скінченномірному лінійному просторі E. Спектром оператора (зазвичай позначається σ (A)) називається безліч його власних значень.

Квадратну матрицю порядку n можна розглядати як лінійний оператор в n-вимірному просторі, що дозволяє перенести на матриці «операторні» терміни. У такому випадку говорять про спектр матриці.

Нехай A - оператор, який діє в банаховому просторі E над C>. Число λ називається регулярним для оператора A. якщо оператор R (λ) = (A - λ I) - 1>. званий резольвенти оператора A. визначений на всьому E і безперервний. Безліч регулярних значень оператора A називається резольвентних безліччю цього оператора, а доповнення резольвентних безлічі - спектром цього оператора σ (A). Спектр оператора являє собою компакт в C>. Спектр лінійного обмеженого оператора непорожній.

Усередині спектра оператора можна виділяти частині, що не однакові за своїми властивостями. Однією з основних класифікацій спектра є наступна:

1. дискретним (точковим) спектром σ p (A) (A)> називається безліч таких λ. при яких оператор A - λ I НЕ ін'ектівен. Дискретний спектр є безліччю всіх власних значень оператора A; в скінченномірному випадку присутній тільки точковий спектр;
2. безперервним спектром σ c (A) (A)> називається безліч значень λ. при яких резольвента (A - λ I) - 1> визначена на усюди щільному безлічі в E. але не є безперервною (тобто оператор A - λ I ін'ектівен, але не сюр'ектівен. а його образ всюди щільний);
3. залишковим спектром σ r (A) (A)> називається безліч точок спектра, що не входять ні в дискретну, ні в безперервну частини (тобто оператор A - λ I ін'ектівен, що не сюр'ектівен, а його образ не є всюди щільним).

Максимум модулів точок спектра оператора A називається спектральним радіусом цього оператора і позначається через r (A). При цьому виконується рівність r (A) = lim n → ∞ ∥ A n ∥ 1 / n \ | A ^ \ | ^>.

У комплексному випадку резольвента є голоморфної операторнозначной функцією на резольвентних безлічі. Зокрема, при λ> r (A) вона може бути розкладена в ряд Лорана з центром в точці z = 0.

У квантовій механіці

безперервний спектр

Безперервний спектр - це спектр значень фізичної величини, в якому на відміну від дискретного спектра значення цієї величини визначено для кожного власного стану системи, причому нескінченно мала зміна стану системи призводить до нескінченно малому зміни фізичної величини. Як фізичної величини можуть виступати: координата, імпульс, енергія, орбітальний момент руху і т. Д. Так як довільна хвильова функція Ψ може бути розкладена в ряд за власними функціями величини з дискретним спектром, то вона може бути також розкладена і в інтеграл по повної системі власних функцій величини з безперервним спектром.