Скрині і монети, аналіз малих даних

Отже, в початкової задачі відповідь, звичайно, 2/3, хоча в інтернеті більшість відповідає 1/2. Перший раз Ви вибираєте одну з 6 монет, які лежать в скринях. У половині випадків вона буде золотий - тобто в трьох випадках (вибираєте золоту з другого скрині або першу або другу золоту з третього)! У двох з цих трьох випадків наступна обрана з того ж скрині монета буде золотий. Тому відповідь: 2/3.

Нагадує парадокс Монті Холла. чи не правда? Тепер розглянемо узагальнення завдання, які я сам придумав (на кшталт, в інтернеті немає).

У Вас N + 1 скриню, в кожному лежить N монет. Всього: N (N + 1) / 2 золотих монет, стільки ж срібних. Вони розподілені по скринях так (див. Рис. Для випадку N = 5):

Ми вибираємо один з цих скринь випадковим чином і наосліп витягуємо одну з монеток. Вона виявляється золотий. Яка ймовірність того, що друга монета, витягнута наосліп з цієї скрині, теж золота?

Дивно, але відповідь не залежить від N! Він завжди 2/3!

Дійсно, наша витягнута золота монета - одна з N (N + 1) / 2. Вона не може бути з першого скрині. Якщо вона з другого - шанси витягти слідом золоту нульові. Якщо вона з третього, то шанси витягти слідом золоту - 1 / (N-1) і т.д. Отримуємо, що шукана ймовірність дорівнює

Залишилося показати, що чисельник дорівнює знаменника, поділений на 3, що легко робиться по індукції.

Особисто мене цей факт (що відповідь завжди 2/3) вразив і потішив. Чомусь здавалося, що з ростом N ймовірність повинна прагнути до 1/2. Ну або хоч якось змінюватися, адже у вихідній задачі було рівно 3 скрині по 2 монети, тому відповідь, що складається з 2 і 3 «не ріже око», а чому так в N-вимірному випадку. Але ще більше моя інтуїція підвела мене в такому узагальненні:

Ми вибираємо один з цих скринь випадковим чином і наосліп витягуємо K монеток (K

Alexey Shramkov.

Доброго вам дня.
Де я помиляюся в міркуваннях? Відповідь 50% здається правильним з вихідних даних.

P (A | B) = P (AB) \ P (B)
B-подія, в якому після вибору скрині> = 1 золотої монети в ньому
P (B) = 2/3.
A-подія, в якому після вибору скрині = 2 золотих монети в ньому
P (A) = 1/3
В задачі потрібно знайти ймовірність події A, після того як подія B вже настало, тобто
P (A | B) -?
A і B залежні події.
Можливість спільного появи двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другого, обчислену за умови, що перша подія відбулася, тобто
P (AB) = P (B) * P (A | B) => P (A | B) = P (AB) / P (B), де P (AB) = P (A), т.к подія A вкладено в подія B.

По заданій умові завдання повна ясність, що робиться тільки один сліпий вибір. Це перекладення класичної завдання з мішенню. Коли робимо один постріл. І визначити ймовірність попадання в 10, якщо відомо, що ми все-таки потрапили в мішень. Ймовірність влучення кудись в мішень 60%, а ймовірність попадання в 10 - 30%.

Ви описали рішення іншої задачі. Власне, Ви самі і написали який: яка ймовірність, що в скрині 2 золотих монети за умови, що в ньому є одна золота монета. Така ймовірність - 1/2. Але у нас питання: яка ймовірність витягнути другу золоту монету після першої золотий. Тобто ні до умови, що ми знаємо що там одна золота (це ми б подивилися в скриню), а за умови, що ми витягли золоту монету і вона в руках (це і є сліпий вибір: ми точно знаємо, що там вже була одна золота монета і нічого не знаємо про другу). Тому треба враховувати, що з останнього скрині витягнути перше золото найімовірніше, ніж з другого.

P (2 зол | 1 зол) = Р (обидві зол) / Р (1 зол)
Р (1 зол) = Р (1 зол | 2й скриню) Р (2й скриню) + Р (1 зол | 3й скриню) Р (3й скриню) = 0.5 * 1/3 + 1 * 1/3 = 1/2

P (2 зол | 1 зол) = Р (обидві зол) / Р (1 зол) = (1/3) / (1/2) = 2/3

Alexey Shramkov.

Олександр, дякую за роз'яснення - повністю згоден з таким результатом при уточненні, що «якась ймовірність витягнути другу золоту монету після першої золотий», т, е в такому випадку ми можемо витягувати другу монету з іншого скрині. У формулюванні задачі мене збентежило саме те, що ми не можемо змінювати вибір скрині після першого сліпого вибору, а просто дістаємо залишилася другу монету. «Яка ймовірність того, що друга монетка в тій скрині - теж золота?»

Ні, хвилиночку. Все так, як і написано: яка ймовірність витягнути другу золоту монету з ЦЬОГО Ж скрині (це я вже мав на увазі за замовчуванням - т.к про це сказано в умови). Початкова формулювання правильна - скриня ми не змінюємо.