Роботи «походження, розвиток і застосування алгебри»

Глава I. Походження алгебри стор.4

Глава II. Розвиток алгебри стор.8

Глава III. Застосування алгебри стор.15

Список використаної літератури стор.17

Дана дослідницька робота розглядає походження, розвиток і застосування людиною алгебри. Актуальність моєї роботи полягає в тому, що в школі кожен учень думає, що в житті алгебра не потрібна, і потрібно тільки здати іспит з математики. У своїй роботі я хочу дізнатися про походження алгебри на землі, дізнатися, як згодом вона розвивалася в різних країнах, і, нарешті, дізнатися, для чого потрібна алгебра, як вона застосовується в житті людини.

Глава I. Походження алгебри

Алгебра (від араб заповнення) - розділ математики, який можна грубо охарактеризувати як узагальнення і розширення арифметики. Слово «алгебра» також вживається в назвах різних алгебраїчних систем. У більш широкому сенсі під алгеброю розуміють розділ математики, присвячений вивченню операцій над елементами множини довільної природи, узагальнюючий звичайні операції додавання і множення чисел.

Походження терміна «алгебра»

Алгебра в різних країнах:

Вавилон. Витоки алгебри сягають глибокої давнини. Уже близько 4000 років тому вавилонські вчені володіли рішенням квадратного рівняння і вирішували системи двох рівнянь, з яких одне - другого ступеня. За допомогою таких рівнянь вирішувалися різноманітні завдання землемерия, будівельного мистецтва і військової справи. Літерні позначення, які ми застосовуємо в алгебрі, не вживалися вавилонянами; рівняння записувалися в словесній формі.

Греція. Перші скорочені позначення для невідомих величин зустрічаються у давньогрецького математика Діофанта (2-3 століття нашої ери). Перше що дійшло до нас твір, що містить дослідження алгебраїчних питань, є трактат Діофанта. У цьому трактаті ми зустрічаємо, наприклад, правило знаків (мінус на мінус дає плюс), дослідження ступенів чисел, і рішення безлічі невизначених питань, які в даний час належать до теорії чисел. З 13 книг, які становлять повне твір Діофанта, до нас дійшло тільки 6, в яких вирішуються вже досить важкі алгебраїчні завдання. Нам невідомо про яких би то не було інших творах про алгебри в давнину, крім втраченого твору знаменитої дочки Теона, Гипатии.

Відзначимо ще, що грецькі математики вміли знаходити наближені значення коренів, але в алгебрі намагалися уникати иррациональностей.

У наступні епохи китайська математика збагатилася новими досягненнями. Так, в кінці 13 століття китайці знали закон освіти біномінальної коефіцієнтів, відомий під ім'ям "трикутника Паскаля". У Західній Європі цей закон був відкритий на 250 років пізніше.

Країни арабської мови. Узбекистан. Таджикистан. Основоположником алгебри, як особливої ​​науки, потрібно вважати узбецького вченого Мухаммеда з Хорезма, відомого під арабським прізвищем аль-Хварізмі. Його алгебраїчний працю, складений в 9 столітті нашої ери, носить назву "Книга відновлення і протиставлення". "Відновленням" Мухаммед називає перенесення від'ємника з однієї частини рівняння в іншу, де воно стає складовою; "Протиставленням" - збирання невідомих в одну сторону рівняння, а відомих - в іншу сторону. По-арабськи "відновлення" називається "ал-джебр". Звідси назва "алгебра".

Ні він, ні інші математики, посівши по-арабськи, не вживали ніяких скорочених позначень. Вони не визнавали і негативних чисел: вчення про негативні числах, знайоме їм з індійських джерел, вони вважали погано обгрунтованим.

Узбецькі, таджицькі, перські та арабські математики збагатили алгебру низкою нових досягнень. Для рівнянь вищих ступенів вони вміли знаходити наближені значення коренів з дуже великою точністю. Так, знаменитий узбецький філософ, астроном і математик аль-Біруні (973-1048), родом теж з Хорезма, звів завдання про обчислення сторони правильного 9-кутника, вписаного в дану окружність, до кубічного рівняння х = 1 + 3x і знайшов (в 60-ковий дробах) наближене значення х = 1,52'45''47 '' '13' '' ', тобто одна ціла, 52 шістдесятих, 45 три тисячі шестисотих і так далі (з точністю до 1/60 ^ 4 ; в десяткових дробах це дає сім вірних десяткових знаків).

Середньовічна Європа. У 12 столітті "Алгебра" аль-Хварізмі стала відома в Європі і була переведена на латинську мову. З цього часу починається розвиток алгебри в європейських країнах. З'являються скорочені позначення невідомих, вирішується ряд нових завдань, пов'язаних з потребами торгівлі. Але істотного зрушення не було до 16 століття. У першій третині 16 століття італійці дель-Ферро і Тарталья знайшли правила для вирішення кубічних рівнянь виду х = px + q; x + px = q; x + q = px, а Кардано в 1545 році показав, що будь-яке кубічне рівняння зводиться до одного з цих трьох.

- Елементарна алгебра. яка вивчає властивості операцій з речовими числами, де символами позначаються постійні і змінні, а також правила перетворення математичних виразів і рівнянь з використанням цих символів.

- Загальна алгебра. іноді звана сучасної алгеброю або абстрактної алгеброю, де алгебраїчні структури, такі як групи, кільця і ​​поля аксіоматізіруются і вивчаються.

- Лінійна алгебра. в якій вивчаються властивості векторних просторів.

- Універсальна алгебра. в якій вивчаються властивості, загальні для всіх алгебраїчних структур (вважається підрозділом загальної алгебри).

- Алгебраїчна теорія чисел вивчає властивості чисел в різних алгебраїчних системах.

- Алгебраїчна геометрія застосовує досягнення алгебри для вирішення проблем геометрії.

- Алгебраїчна комбінаторика. в якій методи абстрактної алгебри використовуються для вивчення питань комбінаторики.

Глава II. розвиток алгебри

Рішення рівнянь 3-ої і 4-го ступеня

Подальший розвиток алгебри було пов'язано з удосконаленням символіки і розробкою загальних методів рішення рівнянь. У цьому досяг успіху Франсуа Вієта. Виет першим став позначати буквами не тільки невідомі, але й дані величини. Тим самим йому вдалося впровадити в науку велику думку про можливість виконувати алгебраїчні перетворення над символами, т. Е ввести поняття математичної формули. Цим він вніс вирішальний внесок у створення буквеної алгебри, ніж завершив розвиток математики епохи Відродження і підготував грунт для появи результатів Ферма, Декарта, Ньютона.

Виет показав, що, оперуючи з символами, можна отримати результат, який можна застосувати до будь-яких відповідним величинам, т. Е вирішити задачу в загальному вигляді. Це поклало початок корінного перелому в розвитку алгебри: стало можливим буквене числення.

Безпосередньо застосування праць Вієта дуже ускладнювалося важким і громіздким викладом. Через це вони повністю не видані до цих пір. Більш-менш повне зібрання праць Вієта було видано в 1646 році в Лейдені нідерландським математиком ван Скоотеном під назвою «Математичні твори Вієта». Г. Г. цейт відзначав, що «читання робіт Вієта ускладнюється кілька вишуканою формою, в якій всюди відчувається його велика ерудиція, і великою кількістю винайдених ним і абсолютно не привившихся грецьких термінів. Тому вплив його, таке значне по відношенню до всієї подальшої математики, поширювалося порівняно повільно ».

Розвиток алгебри в країнах Європи

Несподіваний перехід до алгебри, заснованої на арифметиці, стався в роботах Діофанта, який ввів буквені позначення: невідоме число він назвав «число», другий ступінь невідомого - «квадрат», третю - «куб», четверту - «квадрато-квадрат», п'яту - «квадрато-куб», шосту - «кубо-куб». Також він ввів позначення для негативних ступенів, вільного члена, негативного числа (або віднімання) і знака рівності. Діофант знав і використовував правило перенесення від'ємника з однієї частини рівняння в іншу і правило скорочення рівних членів. Досліджуючи рівняння третьої і четвертої ступенів Діофант для знаходження раціональної точки на кривій використовує такі методи геометричної алгебри як провести дотичну в раціональної точці кривої або провести пряму через дві раціональні точки.

Першим європейським математиком, якому вдалося висвітлити багато питань і внести в математику свій внесок, був ^ Леонардо Пізанський (Фібоначчі, 1180-1240), який написав «Книгу абака». У ній розглянуті різні завдання, вказані методи їх вирішення, причому арифметика і алгебра лінійних і квадратних рівнянь викладені з небувалою до цього часу точністю і повнотою.

Істота завдання Леонардо викладає словесно; невідому він називає res (річ) або radix (корінь); квадрат невідомої - census (майно) або quadratus (квадрат); дане число - numerus. Все це латинські пероводи відповідних латинських слів.

Французький єпископ Ніколь Орем (1323-1382) розглядав «дрібно - раціональні відносини», відповідне сучасним ступенями a½, a¼, a3 / 2 і т.д. сформулював правила операцій з цими відносинами типу. . . . .

Видатним алгебраїстом свого часу став монах-францисканець ^ Лука Пачолі (бл. Один тисяча чотиреста сорок п'ять - ок.1514) близький друг Леонардо да Вінчі, який працював професором Математики в університетах і різних навчальних закладах Риму, Болоньї, Неаполя, Флоренції, Мілана та інших міст.

Він ввів «алгебраїчні літери». дав позначення квадратному і кубічному коріння, корені четвертого ступеня; невідому х він позначав зі (cosa - річ), х2 - се (censo - квадрат), х3 - cu, x4 - се. Се. x5 - р ° г ° (primo relato - «перше relato», x6 - р ° г ° х - се. Cu. (censo de «друге relato»), х8 - ce. Ce. Ce. (de censo), x9 - cu. Cu. (cubo de cubo), x10 - ce. P ° r ° (censo de primo relato), x13 - 3 ° r ° (tersio relato - «третій relato») і т. д .; вільний член рівняння - n ° (numero - число). Як бачимо, деякі ступеня Пачолі отримував мультиплікативний способом з по-міццю показників 2 і 3 (х4 = х2 × 2. х6 = х2 × 3, х9 = х3 × 3 і т. д) , а у випадках, коли так не виходило, користувався словом relato (наприклад, при утворенні х5, х7, х11 і т. Д.). Спеціальними символами Пачолі позначив другу невідому і її ступеня. Для позначення операції складність ня він скористався знаком (plus - більше), для позначення віднімання - знаком (minus - менше). Він сформулював правила множення чисел, перед якими стоять знаки і.

Деякий крок у вдосконаленні алгебраїчної символіки зробив бакалавр медицини Н. Шюке, який в книзі «Наука про числах в трьох годину-тях» виклав правила дій з раціональними та ірраціональними числами і теорію рівнянь. Для сло-вання і віднімання він слідом за Пачолі користувався зна-ками і. причому, знак служив і для позначення від-ріцательно числа. Невідому величину він називав premier ( «перше число»), а її ступеня - другими, треті-ми і т. Д, числами.

Значного успіху в удосконаленні «алгебраїчних букв» Луки Пачолі досягли німецькі алгебраїсти - «коссісти». Вони замість і ввели знаки + і -. знаки для невідомої, і її ступенів, вільного члена.

У Німеччині перший твір про алгебри належить Християнові Рудольфу з Іayepa, і з'явилося вперше в 1524 р А потім знову видано Стіфел в 1571 р Сам Стіфел і Шейбль, незалежно від італійських математиків, розробили деякі алгебраїчні питання.

В Англії перший трактат про алгебри належить Роберту рекорд, викладачеві математики та медицини в Кембриджі. Його твір про алгебри називається «The Whetstone of Wit». Тут вперше вводиться знак рівності (=).

У Франції в 1558 році з'явився перший твір про алгебри, що належить Пелетаріусу.

У Голландії Стевін в 1585 г. Не тільки виклав дослідження, відомі вже до нього, але і ввів деякі удосконалення в алгебру. Наприклад, він вже позначав невідомі. Правда, для позначення невідомих він використовував всього лише числа, обведені в кружечок. Так перша невідома (тепер зазвичай позначається x) у нього позначалася обведеної в кружечок одиницею, друга - обведеної двійкою, і так далі.

Величезні успіхи зробила алгебра після творів Вієта, який перший розглянув загальні властивості для рівнянь довільних ступенів і показав способи для приблизного знаходження коренів яких би то ні було алгебраїчних рівнянь. Він же перший позначив величини, що входять в рівняння буквами, і тим надав алгебри ту спільність, яка складає характеристическую особливість алгебраїчних досліджень нового часу. Він же підійшов дуже близько до відкриття формули бінома, знайденої згодом Ньютоном, і, нарешті, в його творах можна навіть зустріти розкладання відносини сторони квадрата вписаного в коло до дуги кола, виражене у вигляді нескінченного твори.

Фламандець Албері Жирар або Жерар, трактат якого про алгебри з'явився в 1629 р Перший ввів поняття уявних величин в науку.

Аглічанін Гарриот показав, що будь-яке рівняння може розглядатися, як твір деякого числа множників першого порядку, і ввів у вживання знаки> і

Походження. розвиток і застосування людством арифметики. 1.8. Походження. розвиток і застосування людством геометрії. 1.9. Походження. розвиток і застосування людством алгебри. випадкового. 2.4. Робота зі статистичними даними.

їх видах, властивостях, походження. практичному застосуванні в житті усвідомлено підбирати. з ними, знайомство з началами алгебри і геометрії, вимірювання величин і рішення. попередньої системою роботи. починаючи з 1 класу. У роботі над розвитком мовлення.

роботи діагности етичні роботи провероч ні роботи контроль ні роботи Людина і його будова 14 2 Будiвництво 1 1 Походження. «Периметр». Елементи алгебри. Рівності, нерівності. продуктивно працювати в групах. 8. Розвиток і практичне застосування отриманих.

а саме - мова алгебри (символічний) і мову. порушень в психічному розвитку. Застосування нейропсихологической теорії к. Порушення мовного розвитку. Походження дислексії пов'язано. роботи В процесі логопедичної роботи з розвитку.