Складні інтеграли, приклади рішень

Розкладемо знаменник на множники

Підінтегральний вираз представимо у вигляді суми елементарних дробів:

Наведемо дроби в правій частині рівності до спільного знаменника:

Знаменники цих дробів рівні, прирівняємо їх чисельники:

З останнього рівності знайдемо, і. для цього прирівняємо коефіцієнти при відповідних ступенях:

Вирішуючи цю систему, отримаємо. Тоді вихідний інтеграл можна представити у вигляді

У другому і третьому інтегралом внесемо під знак диференціала

Отримані інтеграли є табличними, знайдемо їх:

Використовуючи формули скороченого множення, розкладемо в знаменнику різниця кубів

Далі розкладемо підінтегральний вираз на суму елементарних дробів з невизначеними коефіцієнтами

Наведемо до спільного знаменника дробу в правій частині останнього рівності і отриманий вираз в чисельнику прирівняємо до чисельника лівої дробу:

Для знаходження невідомих коефіцієнтів, і прирівняємо коефіцієнти при відповідних ступенях:

Вирішуючи цю систему, отримаємо. Тоді вихідний інтеграл набуде вигляду:

У першому з отриманих інтегралів внесемо під знак диференціала. а в другому. Так як . то помножимо і розділимо другий інтеграл на 2 і додамо і віднімемо 1, отримаємо:

Перші два з отриманих інтегралів, є табличними, в третьому виділимо в знаменнику повний квадрат:

Далі внесемо під диференціал і отриманий інтеграл буде табличним. Таким чином, остаточно отримаємо:

Введемо замін і висловимо.

Продифференцируем ліву і праву частини останнього рівності:

Підставляючи цю заміну в вихідний інтеграл, одержимо:

Для знаходження отриманого інтеграла будемо використовувати метод інтегрування частинами. покладемо

Підставляючи всі в формулу для інтегрування частинами, отримаємо:

Останній інтеграл є табличним

Робимо зворотну заміну: