Системи лінійних нерівностей, алгебра

Системи лінійних нерівностей з однією змінною за допомогою тотожних перетворень зводяться до системи з найпростіших нерівностей.

Розглянемо на прикладах, як вирішити систему лінійних нерівностей.

Щоб вирішити систему, потрібно вирішити кожне з яких складається нерівностей. Тільки рішення прийнято записувати не окремо, а разом, об'єднуючи їх фігурною дужкою.

У кожному з нерівностей системи невідомі переносимо в одну сторону, відомі - в іншу з протилежним знаком:

Після спрощення обидві частини нерівності треба розділити на число, що стоїть перед іксом. Перше нерівність ділимо на позитивне число, тому знак нерівності не змінюється. Друге нерівність ділимо на негативне число, тому знак нерівності треба змінити на протилежний:

Рішення нерівностей відзначаємо на числових прямих:

У відповідь записуємо перетин рішень, тобто ту частину, де штрихування є на обох прямих.

У першому нерівності позбудемося дробу. Для цього обидві частини помножимо почленно на найменший спільний знаменник 2. При множенні на позитивне число знак нерівності не змінюється.

У другому нерівності розкриваємо дужки. Твір суми і різниці двох виразів дорівнює різниці квадратів цих виразів. У правій частині - квадрат різниці двох виразів.

Невідомі переносимо в одну сторону, відомі - в іншу з протилежним знаком і спрощуємо:

Обидві частини нерівності ділимо на число, що стоїть перед іксом. У першому нерівності ділимо на негативне число, тому знак нерівності змінюється на протилежний. У другому - ділимо на позитивне число, знак нерівності не змінюється:

Обидва нерівності зі знаком "менше" (не суттєво, що один знак - строго "менше", інший - нестрогий, "менше або дорівнює"). Чи можемо не відзначати обидва рішення, а скористатися правилом "менше меншого, більше більшого". Меншим є 1, отже, система зводиться до нерівності

Відзначаємо його рішення на числовій прямій:

Розкриваємо дужки. У першому нерівності - добуток суми двох виразів на неповний квадрат їх різниці. Воно дорівнює сумі кубів цих виразів.

У другому - добуток суми і різниці двох виразів, що дорівнює різниці квадратів. Оскільки тут перед дужками стоїть знак «мінус», краще їх розкриття провести в два етапи: спочатку скористатися формулою, а вже потім розкривати дужки, змінюючи знак кожного доданка на протилежний.

Переносимо невідомі в одну сторону, відомі - в іншу з протилежним знаком:

Далі обидві частини нерівності ділимо на число, що стоїть перед іксом. При розподілі на негативне число знак нерівності змінюється на протилежний:

Обидва знаки «більше». Використовуючи правило «більше більшого», зводимо систему нерівностей до одного нерівності. Більша з двох чисел 5, следоветельно,

Рішення нерівності відзначаємо на числовій прямій і записуємо відповідь:

Оскільки в алгебрі системи лінійних нерівностей зустрічається не тільки в якості самостійних завдань, а й в ході вирішення різного роду рівнянь, нерівностей і т.д. важливо вчасно засвоїти цю тему.

Наступного разу ми розглянемо приклади розв'язання систем лінійних нерівностей в окремих випадках, коли одна з нерівностей не має рішень або його рішенням є будь-яке число.