Симетрія в математиці
Коренева система [en] особливої групи Лі E8. Група Лі має велике число симетрій.
Симетрія зустрічається не тільки в геометрії. але і в інших областях математики. Симетрія є видом інваріантності. властивістю незмінності при деяких перетвореннях.
Нехай заданий структурований об'єкт X деякого виду, симетрія - це відображення об'єкта в себе, що зберігає структуру об'єкта. Симетрія зустрічається в різних видах. Наприклад, якщо X - безліч з додатковою структурою, симетрія - це биективное відображення безлічі на себе, дає початок групам перестановок. Якщо об'єкт X - безліч точок на площині з її метричної структурою або будь-яке інше метричний простір, симетрія - це біекція безлічі на себе, що зберігає відстань між будь-якою парою точок (ізометрія).
У загальному випадку будь-яка структура в математиці матиме свій власний тип симетрії і багато хто з них наведені в цій статті.
Симетрія в геометрії
Симетрії елементарної геометрії (такі як відображення і поворот) описані в основній статті про симетрії.
абстрактна симетрія
Точка зору Клейна
З кожної геометрією Фелікс Клейн пов'язував лежить в основі груп симетрії. Ієрархія геометрій тоді представляється ієрархією цих груп і ієрархією їх інваріантів. Наприклад, довжини, кути і площі зберігаються в евклідової групі симетрій, в той час як тільки структура инцидентности і подвійне ставлення зберігається в більш загальних проектних перетвореннях. Поняття паралельності. яке зберігається в аффинной геометрії. не має сенсу в проективної геометрії. Таким чином, відокремлюючи групи симетрій від геометрій, зв'язку між симетрії можна встановити на рівні груп. Оскільки група аффинной геометрії є підгрупою проективної геометрії, будь-яке поняття інваріанта в проективної геометрії апріорі має сенс в аффинной геометрії, що невірно в зворотному напрямку. Якщо додати необхідні симетрії, отримаєте більш сильну теорію, але менше понять і теорем (які будуть глибше і більш загальними).
Точка зору Терстона
Вільям Терстон ввів схожу версію симетрій в геометрії. Модель геометрії - це однозв'язного гладке різноманіття X разом з транзитивною операцією групи Лі G на X з компактними стабілізаторами. Групу Лі можна розглядати як групу симетрій геометрії.
Модель геометрії називається максимальною. якщо G максимальна серед груп, що діють гладко і транзитивно на X з компактними стабілізаторами, тобто, якщо вона є максимальною групою симетрій. Іноді це визначення включають в визначення моделі геометрії.
Геометрична структура на різноманітті M - це диференційовних морфізм з M в X / Γ для деякої моделі геометрії X. де Γ - це дискретна підгрупа G. діюча вільно на X. Якщо дане різноманіття допускає геометричну структуру, то воно допускає структуру, модель якої максимальна.
Тривимірна модель геометрії X відноситься до теоремі геометризації, якщо вона максимальна і якщо існує щонайменше одне різноманіття з геометричною структурою на X. Терстон класифікував 8 моделей геометрій, які відповідають цим умовам. Ці симетрії називаються іноді геометриями Терстона. (Існує також нескінченно багато моделей геометрій компактних стабілізаторів.)
Симетрії графіків функцій