Швидкість і прискорення матеріальної точки

Швидкість і прискорення матеріальної точки. Нормальне і тангенціальне прискорення, їх величина і напрямок.

При прямолінійному русі з постійною швидкістю, швидкість визначається як

Якщо швидкість змінює величину або напрямок, її можна вважати сталою тільки на малому проміжку часу. Тому в кожній точці траєкторії швидкість визначається як відношення шляху. пройденого за короткий час. до цього часового інтервалу (тобто як похідна від шляху за часом),

Відповідно шлях. пройдений за час. дорівнює інтегралу від швидкості за часом

Швидкість - вектор, спрямований по дотичній до траєкторії руху.

Відстань і величина переміщення. пройдені за малий час, збігаються, =. При вектор. січний траєкторію, стає дотичним до неї вектором. тобто спрямований по швидкості. Тому в векторному вигляді швидкість записують як

Середньою швидкістю руху за час називається величина

Рух матеріальної точки також описують за допомогою її координат. У цьому випадку, щоб визначити швидкість. спочатку обчислюють проекції швидкості на осі x, y, z. які дорівнюють похідним від відповідних координат за часом

Тоді величина швидкості

Прискорення характеризує швидкість зміни швидкості

- зміна вектора швидкості за малий проміжок часу.

Прискорення можна розкласти на тангенціальне (його ще називають дотичним) прискорення і нормальне (доцентрове) прискорення,

Тангенціальне прискорення виникає, якщо швидкість змінює величину, воно дорівнює похідною від швидкості за часом,

При русі з постійною за величиною швидкістю.

- радіус кривизни траєкторії в даній її точці. Радіус кривизни дорівнює радіусу кола, дуга якої збігається з ділянкою траєкторії.

Для траєкторії, що представляє собою пряму лінію, і. Тобто нормальне прискорення виникає тільки при викривленні траєкторії руху, коли вектор швидкості змінює свій напрямок.

Якщо траєкторія точки - окружність, то радіус кривизни дорівнює радіусу кола,. і.

Тангенціальне прискорення направлено по дотичній до траєкторії; напрямок збігається з напрямком вектора швидкості при прискореному русі і протилежно йому при уповільненому. Нормальне прискорення перпендикулярно і направлено в сторону угнутості траєкторії (рис.2). Оскільки вектори і перпендикулярні, то величина повного прискорення

При координатному способі завдання руху, щоб визначити прискорення, спочатку обчислюють його проекції на осі x, y, z

Величина прискорення в цьому випадку

Обертальний рух, кутова швидкість, кутове прискорення (їх величина і напрямок). Зв'язок лінійних і кутових характеристик.

Обертальним називається рух, при якому всі точки тіла рухаються по колах, центри яких лежать на одній прямій - осі обертання.

Швидкість обертання характеризується кутовою швидкістю «омега», яка дорівнює похідною від кута повороту тіла за часом

Частота обертів дорівнює числу оборотів, зроблених за одиницю часу,

- число оборотів за час. Оскільки за один оборот тіло повертається на кут, рівний 2. то і

Період обертання - це час, за який тіло робить один оборот. Оскільки

рад / с. об / с. с.

Кутове прискорення «Епсілон» одно похідною від кутової швидкості за часом,

- зміна кутової швидкості за часом. .

Вектори і спрямовані по осі обертання тіла; вектор кутової швидкості спрямований в бік ходу правого гвинта при обертанні гвинта в напрямку обертання тіла (рис.3). При прискореному обертанні тіла напрями векторів і збігаються, при уповільненому - протилежні.

Зв'язок лінійних і кутових характеристик.

Якщо точка тіла відстоїть від осі обертання на відстані. то за час вона проходить шлях

Швидкість точки. або

При обертанні тіла тангенціальне прискорення його точки

Нормальне прискорення точки тіла. або

Повний прискорення, як вказувалося раніше, визначають за формулою

Дві точкові маси і. розташовані на відстані один від одного, притягуються з силою

= 6,67 · 10 -11 м 3 / (кг · с 2) - гравітаційна постійна.

Силою тяжіння тіла масою називається сила тяжіння його до Землі

- прискорення вільного падіння.

Внаслідок добового обертання Землі і несферичності її форми величина відрізняється від 9,78 м / с 2 на екваторі до 9,83 м / с 2 на полюсах. В середньому на поверхні Землі

і - маса і радіус Землі.

На висоті над поверхнею Землі

Вага є силою, з якою тіло діє на горизонтальну опору або на підвіс.

За величиною вага і сила тяжіння збігаються тільки в тому випадку, якщо опора нерухома. Наприклад, вага тіла, що знаходиться в рухомому вгору з прискоренням ліфті, перевищує його силу тяжіння.

При ковзанні тіла діюча на нього сила тертя

- коефіцієнт тертя, - сила реакції опори (рис. 4).

Сила пружності, що діє на тіло з боку деформованої (стислій або розтягнутої) пружини, дорівнює за величиною

- коефіцієнт пружності (жорсткість) пружини, - величина деформації пружини.

Робота. виконувана силою при малому переміщенні тіла, визначається наступним чином

- кут між напрямками сили і переміщення. Якщо сила перпендикулярна переміщенню. тобто . то робота силою не здійснюється, тому що .

Повна робота на шляху

Якщо тіло рухається прямолінійно і діюча на тіло сила постійна, тобто і не змінюються, то робота сили на шляху дорівнює

Одиниця виміру роботи Дж (Джоуль).

Роботу сили тяжіння можна підрахувати за спрощеною формулою

- величина переміщення тіла вздовж дії сили тяжіння, «» вибирається при русі тіла вниз, «-» - при русі тіла вгору.

· Робота сили пружності дорівнює

- коефіцієнт пружності пружини, і - її початкова і кінцева деформації.

Сили, робота яких не залежить від траєкторії руху тіла, а визначається його початковим і кінцевим положенням, називаються консервативними. У механіці до таких сил належать сила тяжіння і сила пружності.

Потужність є роботою, вироблену в одиницю часу, тобто

де - робота, здійснена за час. Одиницею вимірювання потужності є Ватт (Вт).

7. Кінетична енергія для матеріальної точки (поступально рухомого тіла). Потенціальна енергія. Потенційна енергія тіла під дією сили тяжіння, сили пружності. Теорема про кінетичну енергію. Закон збереження механічної енергії.

Енергія є мірою здатності тел здійснювати роботу. Механічна енергія складається ізкінетіческой і потенційної. Перша обумовлена рухом тіла, друга - видом сил, що діють на тіло і положенням тіла в просторі.

Для матеріальної точки і поступально рухомого тіла кінетична енергія дорівнює

Потенційною енергією володіють тіла, що знаходяться під дією консервативних сил. Якщо тіло переміщається консервативними силами з точки 1 в точку 2, то зміна потенційної енергії тіла визначається як робота цих сил

З (62) можна знайти тільки зміна потенційної енергії, її величина може бути визначена лише з точністю до постійного доданка. Тому початок відліку потенційної енергії може бути вибрано довільно.

Консервативна сила за величиною дорівнює швидкості зміни потенційної енергії в напрямку дії сили,

Знак мінус в рівнянні (63) відображає той факт, що консервативна сила завжди спрямована в бік зменшення потенційної енергії.

Якщо тіло знаходиться під дією сили тяжіння. його потенційна енергія

- висота розташування тіла над рівнем відліку.

Якщо на тіло діє сила пружності. його потенційна енергія

- величина деформації пружини.

Робота моменту сили.

При обертанні, коли тіло повертається на малий кут. момент сили робить роботу

При повороті на кут робота дорівнює

Якщо момент сили не залежить від кута повороту, то

Умови рівноваги тіл.

З 2-го закону Ньютона і основного рівняння динаміки обертального руху слідують умови рівноваги тіл: для покоїться тіла

1) сума діючих на тіло сил повинна бути рівною нулю,

або, якщо використовувати проекції сил, то

2) сума моментів сил щодо будь-якої точки тіла повинна дорівнювати нулю

сила, що діє перпендикулярно майданчику.

1. Закон Паскаля. Тиск, який чиниться на рідину, передається в усі її точки, в усіх напрямках, без зміни.

2. Гідростатичний тиск. Гідростатичним називається тиск, обумовлене вагою рідини. Величина гідростатичного тиску

щільність рідини, - прискорення вільного падіння, - висота стовпа рідини. Рівні рівного тиску в рідині завжди горизонтальні.

3. Закон Архімеда. На тіло, занурене в рідину (газ), діє виштовхуюча сила Архімеда

щільність рідини, - прискорення вільного падіння, обсяг тіла, зануреного в рідину.

Рідина називається ідеальною (нев'язкої), якщо можна знехтувати силами тертя між її шарами.

Для ідеальної рідини при ламінарному плині виконується рівняння Бернуллі

і - статичний тиск (тиск рідини на площадку, розташовану уздовж лінії струму) в перетинах 1 і 2 трубки струму (рис. 8);

і - динамічний тиск в цих перетинах, обумовлене рухом рідини (кінетична енергія одиниці об'єму рідини в перетинах 1 і 2);

і - висоти, на яких розташовані перетину; щільність рідини;

і - потенційна енергія одиниці об'єму рідини в перетинах 1 і 2.