Середнє значення квадрата швидкості

Нас буде цікавити середній квадрат проекції швидкості. Він знаходиться так само, як квадрат модуля швидкості (див. Вираз (4.1.2)):

Швидкості молекул беруть безперервний ряд значень. Визначити точні значення швидкостей і обчислити середнє значення (статистичне середнє) за допомогою формули (4.3.2) практично неможливо. визначимо

трохи інакше, більш реалістично. Позначимо черезп1 число молекул в об'ємі 1 см 3. мають проекції швидкостей, близькі до v1х; через п2 - число молекул в тому ж обсязі, але зі швидкостями, близькими до vkx, і т. д. * Число молекул зі швидкостями, близькими до максимальної vkx, позначимо через nk (швидкість vkx може бути як завгодно велика). При цьому повинна виконуватися умова: п1 + п2 +. + Ni +. + Nk = п, де п - концентрація молекул. Тоді для середнього значення квадрата проекції швидкості замість формули (4.3.2) можна написати наступну еквівалентну формулу:

* Про те, як ці числа можуть бути визначені, буде розказано в §4.6.

Так як напрям X нічим не відрізняється від напрямків Y і Z (знову-таки через хаос в русі молекул), справедливі рівності:

Для кожної молекули квадрат швидкості дорівнює:

Значення середнього квадрата швидкості, яке визначається так само, як середній квадрат проекції швидкості (див. Формули (4.3.2) і (4.3.3)), дорівнює сумі середніх квадратів її проекцій:

З виразів (4.3.4) і (4.3.5) випливає, що

т. е. середній квадрат проекції швидкості дорівнює

середнього квадрата самої швидкості. множникз'являється внаслідок тривимірності простору і, отже, існування трьох проекцій у будь-якого вектора.

Швидкості молекул безладно змінюються, але середнє значення проекцій швидкості на будь-який напрямок і середній квадрат швидкості - цілком певні величини.

§ 4.4. Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії

Обчислимо за допомогою молекулярно-кінетичної теорії тиск газу. На основі виконаних розрахунків можна буде зробити дуже важливий висновок про зв'язок температури газу з середньою кінетичної енергією молекул.

Нехай газ знаходиться в прямокутному посудині з твердими стінками. Газ і посудину мають однакові температури, т. Е. Перебувають в стані теплової рівноваги. Будемо вважати зіткнення молекул зі стінками абсолютно пружними. При цьому умови кінетична енергія молекул в результаті зіткнення не змінюється.

Вимога того, щоб зіткнення були абсолютно пружними, не є строго обов'язковим. У точності воно і не реалізується. Молекули можуть відбиватися від стінки під різними кутами і з швидкостями, що не рівними по модулю швидкостям до зіткнення. Але в середньому кінетична енергія відбитих стінкою молекул буде дорівнює кінетичної енергії падаючих молекул, якщо тільки існує теплова рівновага. Результати розрахунку не залежать від детальної картини зіткнень молекул зі стінкою. Тому цілком припустимо вважати зіткнення молекул подібними зіткнень пружних куль з абсолютно гладкою твердої стінкою.

Обчислимо тиск газу на стінку посудини CD, що має площу S і розташовану перпендикулярно осі X (рис. 4.3).