Рух твердого тіла навколо нерухомої точки

Нехай абсолютно тверде тіло має одну нерухому точку О. Точки тіла можуть переміщатися при його русі, зберігаючи незмінними відстані до центру О, тобто рухатися по сферичних поверхнях. Саме тому рух тіла з однієї закріпленої точкою носить назву сферичним рухом. Такий рух виконує, наприклад, вовчок, що спирається на нерухому точку опорної поверхні, або гіроскоп з однієї закріпленої точкою.

Скріплена, пов'язана з цим тілом координатна система Oxyz повертаючись разом з ним, утворює три орієнтаційних кута # 966; , # 968; , # 952 ;. характеризують положення тіла відносно нерухомої системи координат Ox1 y1 z1. Ці кути, введені Ейлером, носять назви кут власного обертання # 966 ;. кут прецесії # 968; і кут нутації # 952 ;. Назви кутів відповідають прийнятим в небесній механіці. Розглянемо їх визначення докладніше (рис. 2.25).

· Назвемо пряму ОК перетину площин Ox1 y1 і Oxy лінією вузлів. Як випливає з її визначення, вона перпендикулярна осям Oz1 і Oz.

· Кут власного обертання # 966; пов'язаний з поворотом тіла навколо власної осі обертання Oz (для дзиги - поворот навколо своєї осі).

· Кут нутації # 952; визначає відхилення осі власного обертання Oz від напрямку нерухомої осі Oz1 (відхилення осі дзиги від вертикалі).

· Кут прецесії # 968; - це кут між лінією вузлів і нерухомою віссю Ox1. або, що одне і те ж, кут повороту площини осей Oz1 z навколо осі Oz1 (кут повороту осі дзиги навколо вертикальної осі).

Зауважимо, що показані на рис.2.25 напрямки кутів відповідають позитивним напрямками, прийнятим в системах координат з правими трійками напрямних ортов осей.

Закон сферичного руху абсолютно твердого тіла, що описує його положення в будь-який момент часу, можна сформулювати у вигляді:

Кутова швидкість при сферичному русі

Продифференцировав вираження (2.61) за часом, можна знайти кутові швидкості обертань за відповідними осях вектора яких спрямовані уздовж відповідних осей Oz, Oz1, ОК (рис. 2.25). Їх геометрична сума являє собою т.зв. «Миттєву кутову швидкість тіла», змінну з часом за величиною і напрямком:

Таким чином, рух тіла можна уявити, як послідовність елементарних поворотів на кут. здійснюються навколо переміщається в просторі миттєвої осі обертання. Слід зауважити, що миттєва вісь обертання при будь-яких положеннях тіла завжди проходить через нерухому точку О.

Спроектуємо рівність (2.62) на пов'язані з тілом осі x, y, z і врахувавши, що

(Випливає з рис. 2.25), отримаємо: