Розрядність чисел, значущі і вірні цифри

За допомогою абсолютних похибок визначають так звані вірні і значущі цифри наближених чисел.

Нехай наближені число записано у вигляді десяткового дробу:

Ступеня (i j) називаються «порядок числа», а число, що дорівнює 10 i. називається розрядом числа. Очевидно, всі цілі числа від 0 до 9 - числа нульового порядку (мають розряд одиниць, тому що 10 0 = 1), від 10 до 99 - числа першого порядку (мають розряд десятків, тому що 10 1 = 10) , від 100 до 999 - числа другого порядку (мають розряд сотень, так як 10 2 = 100) і т.д. Якщо говорять, що дане число є (або має бути) четвертого порядку, то це будь-яке число від 10000 до 99999.

Всі цифри дробової частини (десяткового) записи числа, починаючи з першої ненульовий цифри зліва, називаються значущими цифрами цього числа. Нулі в кінці числа завжди вважаються значущими, в іншому випадку їх не пишуть. Наприклад, числа 0,5020 і 0,05020 мають однакові значущі цифри: 5; 0; 2; 0. Абсолютну похибку не слід записувати з великою кількістю значущих цифр. Основною інформацією, що міститься в ній, є значення першої ненульовий цифри і десятковий розряд, в якому ця цифра розташована (наприклад, ± 0,004, ± 0,0001).

Всі важливі цифри поділяються на вірні і сумнівні. Їх ідентифікація базується на величині заданої похибки числа.

Правило 1. Значуща цифра наближеного числа а називається вірною, якщо вона знаходиться в розряді, половина якого більше абсолютної похибки. Інші цифри, для яких це правило не виконується, вважаються сумнівними.

Завдання 1. Для наближеного числа x = 72,356 відома абсолютна похибка. Потрібно визначити його вірні значущі цифри.

Рішення. Виконаємо перевірку на «вірність» для кожної цифри числа.

1) Перевіримо цифру 7. Половина одиниці її розряду. Значить, вона

2) Перевіримо - цифру 2. Половина одиниці її розряду. Вона теж вірна.

3) Цифра 3. Половина її розряду. Значить і вона вірна.

4) Цифра 5. Половина її розряду. Значить цифра 5 сумнівна, а відповідно сумнівна і цифра 6.

Отже, вірними є цифри 7; 2; 3. Інші цифри - сумнівні.

Завдання 2. Дано числа а, в, з і їх абсолютні похибки. Визначити вірні цифри.

а = 2,645 в = 0,81726 с = 3968

У числі а вірними будуть числа 2, 6, 4, сумнівна одна цифра 5.

У числі у вірній буде цифра 8, інші сумнівні.

У числі з вірними будуть тільки цифри 3, 9, інші сумнівні.

Таким чином, вірні цифри в рівноправній ступеня

- можуть складатися тільки з нулів (наприклад, якщо число 78,00 має всі вірні цифри, значить воно записано з точністю до 0,005) і тоді нулі пишуть обов'язково;

- можуть містити і значущі цифри (наприклад, число 78,0051 з точністю до 0,0005 має вірні цифри після коми 0, 0, 5, а число 1 сумнівне).

Нерідко буває так, що вихідні числові дані наводяться без оцінки їх похибок, але з відомими вірними цифрами. Виникає зворотне завдання: знайти абсолютні похибки цих чисел, необхідні для подальшого обліку похибок. Рішення випливає з визначення вірної цифри. Якщо дрібна частина числа а = 4,06 містить тільки вірні цифри, то це означає, що.

Правило 2: за абсолютну похибку (коли її не вказано окремо) наближеного числа з відомими вірними цифрами приймається половина одиниці того розряду, де знаходиться остання вірна цифра.

Звернемо увагу на інформаційну значимість нулів, записаних в кінці числа. Так, якщо відомо, що всі цифри чисел 3,2 і 3,20 вірні, то ці записи нерівноцінні. За абсолютну похибку першого числа можна взяти. Для другого.

Правило 3: коли в кінці числа виходять вірні нулі округлення, їх слід зберігати.

Нехай число а = -17,298 з абсолютною похибкою потрібно округлити до вірних цифр. Очевидно, що останній вірною цифрою повинна бути друга після коми, тобто а = -17,30, але не а = - 17,3 (зауважимо, що в числі а = 17,30 немає сумнівних цифр). Але якщо для того ж числа. округлене число буде а = 17,3.

Дуже часто, для полегшення розуміння вимог, що пред'являються до наближеного числа, застосовують термін «точність». У числі, що визначається як точність, остання права цифра вказує на розряд останньої вірної цифри, наприклад, в дробової частини наближеного числа. Якщо наближене число повинне бути обчислено з точністю, наприклад, до 0,001, це означає, що в результаті третя після коми цифра повинна бути вірною, якщо точність оцінюється числом 0, 01, то в дробової частини друга цифра після коми повинна бути вірною. Зауважимо, що для виконання першої вимоги число повинно мати абсолютну похибка не більше ± 0,0005, у другому випадку - не більше ± 0,005